Метод квадратурных формул

Пусть известны значения функции в узловых точках , . В разделе 3.1 задача численного дифференцирования решалась посредством дифференцирования интерполяционных формул. Однако существует другой подход, который основан на использовании квадратурных формул. Квадратурная формула вычисления производной -го порядка имеет вид:

. (3.35)

Коэффициенты выбираются таким образом, чтобы формула (3.35) была точной для любой , являющейся многочленом степени не выше . Тогда говорят, что квадратурная формула (3.35) имеет порядок алгебраической точности равный .

Любой многочлен степени записывается в виде:

, (3.36)

где – произвольные вещественные числа. Потребуем, чтобы соотношение (3.35) при условии (3.36) обращалось в равенство

. (3.37)

Равенство (3.37) должно выполняться для любого многочлена степени . Для этого достаточно, чтобы коэффициенты при в левой и правой части (3.37) были одинаковы. В результате получим следующую систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов :

, . (3.38)

При число уравнений в (3.38) и число неизвестных будет совпадать, матрица системы будет матрицей Вандермонда, а значит невырожденной. Решив систему (3.38), можно по квадратурной формуле вычислить производную функции -го порядка. Для вычисления производной в другой точке, необходимо пересчитать коэффициенты из системы (3.38) и повторить расчеты по формуле (3.35).

Отметим, что метод квадратурных формул нашел применение для численного дифференцирования функций многих переменных. Численное дифференцирование функций многих переменных можно также реализовать, используя аналитические формулы многомерной аппроксимации, приведенные в п. 2.15.

Контрольные вопросы

1. Как осуществляется операция численного дифференцирования при неравноотстоящих узлах?

2. Как оценивается остаточный член при численном дифференцировании при неравноотстоящих узлах?

3. Каков принцип численного дифференцирования при равноотстоящих узлах?

4. Как определяется порядок точности формулы численного дифференцирования?

5. Какой порядок точности у формулы , оценивающей производную первого порядка?

6. Какой порядок точности у формулы , оценивающей производную первого порядка?

7. Какой порядок точности у формулы , оценивающей производную первого порядка?

8. Какой порядок точности у формулы , оценивающей производную второго порядка?

9. Какой порядок точности у формулы , оценивающей производную второго порядка?

10. Укажите, как зависит порядок точности формулы, оценивающей производную, от количества табличных значений функции, входящих в эту формулу?

11. Укажите, как неустранимая погрешность численного дифференцирования зависит от величины шага таблицы?

12. Укажите, как полная погрешность численного дифференцирования зависит от величины шага таблицы?

13. Как осуществляется оценка приближений численного дифференцирования по правилу Рунге?

14. Как можно увеличить порядок точности вычисления производной на единицу, используя принцип Рунге?

15. Укажите, как применяется метод квадратурных формул для выполнения операции численного дифференцирования?

16. Укажите, как связано количество узлов таблицы с порядком многочлена , для которого квадратурная формула вычисления производных точна?