Оценка приближений численного дифференцирования по правилу Рунге

Пусть требуется оценить погрешность приближения производной некоторого порядка , вычисленной в точке . Обозначим эту производную . Будем также предполагать, что метод вычисления производной имеет порядок точности

. (3.29)

Найдем , используя два приближенных значения производной, вычисленных с шагом и . Обозначим эти значения и . Тогда с точность до справедливы следующие приближенные соотношения

, (3.30)

. (3.31)

Приравняв выражения (3.30) и (3.31), получим выражение для :

.

Тогда погрешность вычисления производной в точке с шагом определится по формуле:

. (3.32)

Полученный результат можно использовать для определения шага таблицы с равноотстоящими узлами, который обеспечивает минимум погрешности метода. Из уравнения

,

где – желаемая точность вычисления производной, находим шаг таблицы

.

Используя формулу (3.30), можно также на единицу увеличить порядок точности вычисления производной:

. (3.33)

Формула (3.33) позволяет по результатам двух вычислений производной с порядком аппроксимации найти значение производной с повышенным порядком точности равным .

Пример 3.4. Пусть первая производная вычисляется по двум формулам

,

,

имеющим первый порядок точности. В соответствии с (3.33) построим новую формулу при ,

, (3.34)

которая будет иметь второй порядок точности. Отметим, что формула (3.34) была получена ранее (см. пример 3.1) методом дифференцирования интерполяционной формулы Лагранжа.