Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

Частными случаями интерполяционного квадратурного правила являются правила Ньютона-Котеса. Эти правила с равноотстоящими узлами были предложены Ньютоном, а Котесом была составлена таблица коэффициентов для случая постоянной весовой функции при .

Квадратурное правило Ньютона-Котеса записывается в виде:

, (4.5)

где .

Коэффициенты в (4.5), учитывая выражение (4.3) для , вычисляются по формуле:

.

Если ввести новую переменную , положив , то

,

,

якобиан преобразования равен , и выражение для коэффициентов примет вид

. (4.6)

В случае постоянной весовой функции выражение (4.6) примет вид

(4.7)

и формула для остатка квадратуры Ньютона-Котеса запишется следующим образом:

. (4.8)

Для , коэффициенты принимают конкретные значения:

, ,

, , ,

, , ,

, , , ,

и т.д.

Коэффициенты являются рациональными числами и обладают следующими свойствами:

1) при каждом , в чем легко убедиться, если в (4.5) положить и учесть, что в этом случае ;

2) из первого свойства следует, что при ;

3) ;

4) при и для всех среди встречаются отрицательные, причем абсолютные величины значений быстро растут с ростом .

Последнее свойство коэффициентов является существенным при определении погрешности вычисления интеграла с помощью квадратурной суммы. Так, если значения подынтегральной функции известны с абсолютной погрешностью , то неустранимая погрешность вычисления интеграла с помощью квадратурной суммы

(4.9)

может быть оценена величиной

,

при этом значения при увеличении быстро растут. Например,

.

Поэтому при больших значениях незначительные погрешности в значениях функций могут привести к большой погрешности в квадратурной сумме (4.9). В связи с этим формулы Ньютона-Котеса используются только при малых значениях . Для уменьшения погрешности результата отрезок разбивают на отрезков. К каждому полученному отрезку применяют квадратурную формулу с малым числом узлов и результаты суммируют. При этом, так как погрешность метода для формулы Ньютона-Котеса можно представить в виде , где − медленно изменяющаяся функция на , а погрешность той же формулы, примененной к отрезку длиной , равна , то в результате суммирования погрешностей получим

.

Таким образом, погрешность вычисления интеграла за счет деления интервала интегрирования на частей, уменьшилось в раз.

Заметим, что если середина интервала является узлом квадратурного правила, то точность правила увеличивается на единицу.

Получим конкретные формулы Ньютона-Котеса для , которые используются чаще всего. При этом, приведем и соответствующие обобщенные формулы, которые получаются путем деления отрезка на частей и суммирования значений интегралов, вычисленных на каждой из этих частей.