Квадратурные формулы прямоугольников

Коэффициент квадратурного правила .В качестве узла квадратурного правила на интервале можно выбрать любую точку. Обычно выбирают среднюю или крайние точки и в соответствии с этим получают различные квадратурные формулы.

1. Формула левых прямоугольников.

В качестве узла квадратурного правила выбирается левый конец интервала , т.е. точка . Тогда квадратурная формула называется формулой левых прямоугольников и записывается в виде

, (4.10)

где

и − некоторая точка интервала .

Формула (4.10) означает, что площадь под кривой на заменяется площадью прямоугольника с основанием и высотой .

В силу теоремы о среднем, так как множитель не меняет знак на и предполагается непрерывной на , существует точка такая, что

.

Разделим отрезок на отрезков длиной и к каждому отрезку применим формулу левых прямоугольников. Тогда

.

Просуммировав результаты по всем отрезкам, получим обобщенную формулу левых прямоугольников

, (4.11)

где . При этом погрешности также суммируются, то есть

.

В силу предположения о непрерывности на и согласно теореме о среднем, существует точка такая, что

Тогда погрешность обобщенной формулы левых прямоугольников примет вид

.

2. Формула правых прямоугольников.

В качестве узла квадратурного правила выбирается правый конец интервала , т.е. точка . Тогда квадратурная формула называется формулой правых прямоугольников и записывается в виде

, (4.12)

где

.

Формула (4.12) означает, что площадь под кривой на заменяется площадью прямоугольника с основанием и высотой .

Разделив отрезок на отрезков длиной , применив к каждому отрезку формулу левых прямоугольников и просуммировав результаты, получим обобщенную формулу правых прямоугольников

. (4.13)

Погрешность формулы (4.13) запишется в виде

.

3. Формула средних прямоугольников.

В качестве узла квадратурного правила выбирается средняя точка интервала , то есть точка . Тогда квадратурная формула называется формулой средних прямоугольников и имеет вид

(4.14)

Формула (4.14) означает, что площадь под кривой на заменяется площадью прямоугольника с основанием и высотой .

Так как середина интервала является узлом квадратурной формулы, то эта формула будет точной для всех многочленов первой степени. Тогда функцию можно представить в виде

где ─ многочлен Тейлора первой степени, удовлетворяющий условиям

Остаточный член при кратном интерполировании в предположении, что имеет непрерывные производные второго порядка, имеет вид

где − некоторая точка интервала . Тогда

.

Так как множитель и непрерывна на , то, согласно теореме о среднем, существует такая точка что

.

Разделим отрезок на частей длиной и к каждому отрезку применим формулу средних прямоугольников (4.14). Тогда

.

Просуммировав результаты по всем отрезкам, получим обобщенную формулу средних прямоугольников

(4.15)

Погрешность формулы (4.15) можно записать, просуммировав по всем отрезкам, то есть

.

Согласно теореме о среднем и в предположении о непрерывности на , погрешность обобщенной формулы средних прямоугольников запишется в виде

(4.16)