Приближенное вычисление неопределенных интегралов

Рассмотрим задачу вычисления неопределенного интеграла

(4.38)

в точках . В общем случае, когда узлы неравноотстоящие, эту задачу можно решить, вычислив определенные интегралы

.

В случае равноотстоящих узлов, , , для решения поставленной задачи существуют простые рекуррентные формулы вида

. (4.39))

Обозначим .

При построении начала таблицы неопределенного интеграла, необходимо функцию аппроксимировать с помощью 1-ой формулы Ньютона при

, (4.40)

где , , – конечные разности соответствующих порядков. Тогда, при вычислении интеграла (4.39), получим:

, (4.41)

при этом из (4.38) следует, что .

Ошибку вычисления интеграла (4.41) можно оценить, вычислив интеграл

,

где – остаточный член 1-ой формулы Ньютона. Подставив в (4.41) формулу (4.39), получим расчетную формулу

. (4.42)

Далее вычисляется по формуле

. (4.43)

Выполнив несколько шагов (обычно 2 или 3), можно для аппроксимации подынтегральной функции в (4.39) перейти к формуле Бесселя при :

(4.44)

Подставив в (4.44) формулу (4.39), получим расчетную формулу

. (4.45)

Ошибку вычисления по формуле (4.45) можно оценить, вычислив интеграл

,

где – остаточный член формулы Бесселя.

Когда начнет приближаться к значениям, близким к , необходимо, при аппроксимации подынтегральной функции, перейти ко 2-ой формуле Ньютона.

Таким образом, рассмотренный метод вычисления неопределенного интеграла при равноотстоящих узлах, сводится к простым рекуррентным формулам.