Геометрический метод Монте-Карло

Пусть при вычислении интеграла

(4.63)

для подынтегральной функции на выполняется условие:

.

Введем новую функцию

,

значение которой лежат в интервале . Тогда

.

Затем, выполнив замену переменной , получим

. (4.64)

Таким образом, необходимо вычислить интеграл

,

а затем получить значение исходного интеграла , согласно (4.64).

Для реализации метода генерируется точек , где − независимые случайные величины, равномерно распределенные на интервале . Если для совокупности двух случайных величин окажется, что

,

то событие считается неблагоприятным; если

,

то событие считается благоприятным, так как в этом случае точка попадает в заштрихованную область (рис.4.1).

Рис. 4.1. Графическая иллюстрация геометрического метода

Пусть из точек попали в заштрихованную область. Частота попадания будет приблизительно равна площади заштрихованной области, т.е.

. (4.65)

Окончательно, значение интеграла (4.63) определяется согласно выражению (4.64) с учетом формулы (4.65).

Пусть требуется вычислить интеграл

, (4.66)

где область интегрирования определяется неравенствами (4.52). При этом требуется, чтобы для подынтегральной функции в области выполнялось условие

. (4.67)

Сделаем замену переменных

,

с помощью которых область преобразуется в область и заключается в -мерный единичный куб. Тогда интеграл (4.66) запишется в виде

, (4.68)

где

,

а область определяется неравенствами (4.54).

Введем новые функции

и

Тогда

. (4.69)

Для вычисления интегралов в (4.69) генерируется точек где независимые случайные величины, равномерно распределенные на интервале . Для первого интеграла соответствует числу благоприятных событий, если выполняются неравенства

(4.70)

а соответствует числу благоприятных событий для второго интеграла, если выполняются неравенства (4.70) и

. (4.71)

Тогда, согласно (4.59), значение интеграла будет равно

. (4.72)

Как и в простейшем методе Монте-Карло, здесь точность вычисления интеграла и число испытаний взаимосвязаны. Рассмотрим подход к определению значения , который обеспечивает требуемую точность вычисления .

Пусть требуется вычислить интегралы:

(4.73)

или

, (4.74)

где область заключена в -мерный единичный куб и для значений подынтегральных функций выполняются неравенства:

,

.

Погрешность вычисления интеграламожно определить, воспользовавшись неравенством Чебышева

, (4.75)

где ─ малая величина, обычно . Формула (4.75) означает, что с вероятностью погрешность вычисления интегралов с помощью геометрического метода Монте-Карло приблизительно равна , при этом значение можно определить из неравенства

. (4.76)

Пример 4.15. Требуетсявычислить интеграл

с точностью методами Монте-Карло.

1. Простейший метод Монте-Карло.

Сделаем замену переменных , где . Тогда

.

При вычислении интеграла получаются следующие результаты: .

2. Геометрический метод Монте-Карло.

Подынтегральная функция

на интервале принимает минимальное значение и максимальное значение . Вводим новую функцию

и делаем замену переменных . Тогда

и при вычислении интеграла получаются следующие результаты: .

Заметим, что геометрический метод Монте-Карло всегда требует значительно большее число испытаний, чем простейший.

Пример 4.16. Требуетсявычислить интеграл

с точностью методами Монте-Карло от функции . Область определяется неравенствами:

где

.

1. Простейший метод Монте-Карло.

Так как для , то с помощью замены переменных , область преобразуется в область , которая определяется неравенствами

где

.

При этом область оказывается заключенной в единичный квадрат (см. рис.4.2., где сплошной линией изображен график функции , а пунктирной − ).

Рис. 4.2. Преобразованные границы области интегрирования

Тогда исходный интеграл запишется в виде:

,

где и

.

На рис.4.3. изображена область, объем которой равен .

Рис.4.3. Графическое представление функции

В результате получается, что значение интеграла , при этом .

2. Геометрический метод Монте-Карло.

Для функции в области выполняется неравенство: . Исходный интеграл, как и в простейшем случае, приводится к виду

.

Затем вводятся новые функции

и

и интеграл записывается в виде

,

где

.

На рис.4.4. и 4.5. изображены области, заключенные в единичный куб, объем которых равен и соответственно.

Рис.4.4. Графическое представление функции

Рис.4.5. Графическое представление функции

Согласно геометрическому методу Монте-Карло, интеграл вычисляется следующим образом

.

Значение определяется из неравенства

,

где . Откуда получаем, что наименьшее значение , удовлетворяющее этому неравенству . Значение интеграла получается равным , при этом , а .

Контрольные вопросы

1. Дайте определение квадратурной формулы.

2. Дайте определение интерполяционной квадратурной формулы.

3. Запишите выражение для погрешности интерполяционной квадратурной формулы.

4. Как определяется алгебраическая степень точности квадратурного правила?

5. Какова алгебраическая точность общей интерполяционной квадратурной формулы, если число квадратурных узлов равно ?

6. Приведите общий вид квадратурной формулы Ньютона-Котеса.

7. Перечислите свойства формулы Ньютона-Котеса.

8. Чему равен порядок алгебраической точности квадратурной формулы Ньютона-Котеса, если число квадратурных узлов – четное?

9. Чему равен порядок алгебраической точности квадратурной формулы Ньютона-Котеса, если число квадратурных узлов – нечетное?

10. Выведите обобщенную формулу левых прямоугольников.

11. Чему равен порядок алгебраической точности левых прямоугольников?

12. Выведите обобщенную формулу правых прямоугольников.

13. Чему равен порядок алгебраической точности правых прямоугольников?

14. Выведите обобщенную формулу средних прямоугольников.

15. Чему равен порядок алгебраической точности средних прямоугольников?

16. Выведите обобщенную формулу трапеций.

17. Чему равен порядок алгебраической точности формулы трапеций?

18. Выведите обобщенную формулу Симпсона.

19. Чему равен порядок алгебраической точности формулы Симпсона?

20. Выведите обобщенную формулу «трех восьмых».

21. Чему равен порядок алгебраической точности формулы «трех восьмых»?

22. Чему равен порядок алгебраической точности квадратурной формулы наивысшая алгебраическая степень точности, если число квадратурных узлов равно ?

23. Как определяются коэффициенты и узлы в квадратурной формуле наивысшей алгебраической степени точности?

24. Какими свойствами обладает многочлен в квадратурной формуле наивысшей алгебраической степени точности?

25. Как определяется погрешность в квадратурной формуле наивысшей алгебраической степени точности?

26. Как вычислить интеграл с помощью квадратурного правила наивысшей алгебраической степени точности?

27. Как записывается и исходя из каких условий строится квадратурная формула Чебышева?

28. Чему равен порядок алгебраической точности квадратурной формулы Чебышева, если число квадратурных узлов равно ?

29. Как вычислить интеграл от функции , имеющей на интервале интегрирования точку разрыва первого рода?

30. Как вычислить интеграл от функции , имеющей на интервале интегрирования точку разрыва второго рода?

31. Как вычислить интеграл на бесконечном интервале интегрирования?

32. Каков принцип вычисления неопределенных интегралов?

33. Приведите формулу вычисления интеграла

простейшим методом Монте-Карло.

34. Как оценить погрешность вычисления интеграла в простейшем методе Монте-Карло?

35. Приведите формулу вычисления интеграла

,

где , геометрическим методом Монте-Карло.

36. Как оценить погрешность вычисления интеграла в геометрическом методе Монте-Карло?