Интерполяционный многочлен Лагранжа. Рассмотрим следующий многочлен:

Рассмотрим следующий многочлен:

(1)

или кратко

Не трудно проверить, что степень этого многочлена ≤ n. Покажем, что значения этого многочлена в точках совпадают со значением функции f(x), то есть . Чтобы это показать, рассмотрим следующий многочлен:

Найдем его значения в узлах интерполяции:

Заметим, что можно переписать в следующем виде: Рассмотрим в точке :

=

Итак, мы доказали, что многочлен имеет степень не выше n и в узлах интерполяции его значения совпадают с соответствующими значениями функции f(x). А в силу того, что интерполяционный многочлен единственен, то одно из представлений этого многочлена.

Интерполяционный многочлен в форме (1) называют интерполяционным многочленом Лагранжа, а формула f(x) называется интерполяционной формулой Лагранжа.