Оценка погрешности интерполяционных формул

Если известно аналитическое выражение интерполируемой функции f, можно применять формулы для оценки погрешности интерполированию.

Величину называют погрешностью интерполяции или остаточным членом интерполяционной формулы Лагранжа. Равенство называется интерполяционной формулой Лагранжа с остаточным членом. Ясно, что в узлах интерполяции, погрешность интерполяции равна нулю.

Рассмотрим вопрос об оценке погрешности интерполяции в точке x, отличной от узлов интерполяции.

Для произвольной функции f(x) постановка вопроса о погрешности интерполяции многочленом некорректна, так как для одного набора из (n+1) точек существует единственный многочлен n–ной степени, проходящий через них, и бесконечно много функций, проходящих через эти точки и сколь угодно сильно отличные от Потому для оценки погрешности необходимо налагать какие-либо условия на f(x).

Пусть и . Обозначим -многочлен степени n+1, . где c=const - некоторый параметр. То есть, u(x) имеет на по крайней мере n+1 корень. Подберем число c так, чтобы еще в одной точке . - такое число обязательно существует. Пусть для определенности

Таким образом, функция U(x) имеет корня и эти точки составляют систему n+1 отрезков, на концах которых U(x)=0 и по теореме Роля, на каждом из них существует точка, в которой , то есть n+1 ноль производной.

Эти точки образуют систему n отрезков, на которых можно применить теорему Роля к производной точка и так далее. На шаге получим: точка или

Но так как выбрано произвольно, равенство справедливо для всех х, то

Если при этом

Пример: Оценить погрешность интерполирования функции в точке x=116 с помощью интерполяционной формулы Лагранжа, построенной для узлов:

, n=2 a=min (100, 121, 144) =100 b=max (100, 121, 144) =144

Контрольные вопросы

1. Как ставится задача интерполяции?

2. Получите формулу для вычисления интерполяционного многочлена в форме Лагранжа.

3. Докажите теорему о погрешности интерполяции. Запишите оценку погрешности интерполяции.

4. Постройте интерполяционный многочлен для произвольной функции.

Литература

5. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М., Наука, 1987.

7. Вабищевич П.Н.. Численное моделирование. М.: 1993.

8. Заварыкин В. М., Житомирский Г. В., Лапчик М. П. Численные методы. - М., Просвещение, 1990.