Формулы прямоугольников. Формула прямоугольников получается из (2) если положить в зависимости от расположения точки

Формула прямоугольников получается из (2) если положить в зависимости от расположения точки . При этом, для повышения точности вычисления, отрезок интеграла разбивают на части таким образом Будем выбирать 1) 2) 3)

Таким образом, если {x_i} – разбиение отрезка на k равных частей с шагом , шаг квадратурной формулы, таким образом:

формула правых прямоугольников

формула левых прямоугольников

(*) формула средних прямоугольников

последняя формула в силу очевидных геометрических соображений является более точной, её будем называть формулой прямоугольников

Однако произвести оценку погрешности невозможно без дополнительных предположений относительно гладкости функции .

Пусть

Вычислим сначала ; где h< < 1.

формула Тейлора. 2^го порядка и

/

таким образом, приблизительное значение по формуле прямоугольников ,

В общем случае где ,

Формула трапеций

Пусть разбиение . Запишем на каждом частичном отрезке многочлен Лагранжа

,

Тогда

Положим

Для оценки погрешности необходимо интегрировать остаточный член функции интерполяции

Т.о.