Статистический метод вычисления интегралов

Метод вычисления, основанный на статистических методах, чаще всего применяют для вычисления кратных интегралов (n≥ 4). Мы рассмотрим эти методы на примере определенного интеграла.

I схема метода Монте–Карло

С помощью генератора случайных чисел можно получить последовательность равномерно распределенных значений α _i некоторой случайной величины α, которые характеризуются тем, что вероятность появления значения из интервала не зависит от положения этого интервала и .

Как известно

Можно приближенно заменить функцию f(x) набором равномерно распределенных значений и заменить т.е. средним арифметическим дискретных значений функции.

Т.о. учитывая что (доказывается в теории вероятности), то

Пусть задан и j_i =random случайная величина из

Оценки для определения погрешности этой функции не существует. Скорость приближения I_n→ I определяется экспериментально. Задается цикл порядка n≥ 10⁴. И в процессе вычисления интеграла выводятся все значения I_I. При стабилизации значащих цифр в соответствующем разряде считается, что требуемая точность достигнута.

Формулу I метода Монте-Карло в изначальном виде интерполировать неудобно из-за повторяющего вычисления суммы одних и тех же значений

В этой рекуррентной формуле полагают I_I=(b-a)f(x₁) ()

II схема метода Монте - Карло

Основана на геометрическом подходе. С одной стороны

S – площадь криволинейной трапеции

S₀

f

S

A b

С точки зрения теории вероятности доказывается, что , где S₀ – площадь прямоугольника, содержащего S, а Р – вероятность попадания точки, выбранной случайно из S₀ в S.

Пусть m_i., J_i =random [0, 1], тогда , . Криволинейная трапеция определяется условиями a≤ x≤ b, 0≤ y≤ f(x). Т.е. если точка с координатами (x_i, y_i) принадлежит прямоугольнику S₀ и j_i≤ f(x_i), то она принадлежит и трапеции S.

Пусть n – общее количество итераций N(n) – число точек, принадлежащих трапеции, тогда (закон больших чисел)

Т.о. , последовательность

Оценка погрешности, как и в первом случае, проводится на основе экспериментальных данных стабилизации разрядов в приближенном значении.

Очевидно, если функция (x) меняет знак на или является неположительной, можно рассмотреть функцию где