Постановка задачи. Пусть известные значения некоторой функции f образуют таблицу: x f(x)

Пусть известные значения некоторой функции f образуют таблицу:

x			…
f(x)			…

При этом требуется получить значение функции f для такого значения аргумента x, которое входит в отрезок [ ], но не совпадает ни с одним из значений (i=0, 1, …, n). Поскольку чаще всего аналитическое выражение функции f неизвестно, то используют следующий прием: подбирают функцию g(x), приближающую функцию f(x) в промежутке [ ].

Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основывается на требовании строго совпадения значений f(x) и g(x) в точках (i=0, 1, …, n), то есть

В этом случае нахождение приближающей функции называют интерполяцией (или интерполированием), а точки – узлами интерполяции.

Очевидно, что задача интерполяции допускает сколь угодно много решений. Обычно, функцию g(x) выбирают из функций определенного класса и чаще всего из класса многочленов.

Будем искать интерполирующую функцию g(x) в виде многочлена степени ≤ n: причем , . Многочлен называют интерполяционным многочленом для функции f(x), построенным по узлам .

Для любой функции f(x) сформулированная задача имеет решение, причем единственное. Для того чтобы это показать, поступим следующим образом. Для определения коэффициентов многочлена составим систему уравнений, которая имеет следующий вид:

Получим систему из (n+1)–го линейного уравнения с (n+1)–им неизвестным. Найдем определитель этой системы:

Если все точки различны, то этот определитель отличен от 0. Следовательно, рассматриваемая система уравнений всегда имеет решение, причем единственное.

Описанный прием в принципе можно было бы использовать и для практического решения задачи интерполированием многочленом, однако на практике используют другие, более удобные и менее трудоемкие способы.