Метод Гаусса. Процесс решения системы(1) методом Гаусса состоит из 2-х этапов: на первом этапе система(1) приводится к треугольному виду (прямой ход)

Процесс решения системы(1) методом Гаусса состоит из 2-х этапов: на первом этапе система(1) приводится к треугольному виду (прямой ход), а на втором этапе последовательно определяются неизвестные из полученной треугольной систему (обратный ход).

Запишем систему (1) в обычном виде:

(2)

Пусть , (если это не так, то переставим уравнения системы таким образом, чтобы это условия выполнялось).

Разделим первое уравнение системы (2) на и используем полученное уравнение для того, чтобы исключить из уравнений со 2-го по n-ое неизвестное . Затем аналогичным образом разделим второе уравнение на коэффициент при (при необходимости снова переставим уравнения системы) и исключим из уравнений с 3-го по n-е переменную и т.д. После n шагов прямого хода получим треугольную систему, эквивалентную системе(2):

(3)

Получение системы(3) – это результат выполнения прямого хода метода Гаусса. Так как система (3) имеет треугольную матрицу коэффициентов, то её решение легко найти.

В процессе прямого хода методом Гаусса приходится выполнять операцию деления на элементы Эти элементы называются ведущими, они должны быть отличны от нуля. Если значения ведущих элементов малы, то при вычислении могут получаться большие погрешности. Чтобы уменьшить эти погрешности применяют метод Гаусса с выбором главного элемента. Основная идея метода Гаусса с выбором главного элемента состоит в следующем: На i-ом шаге прямого хода перед его началом рассматриваются коэффициенты i-ого столбца, расположенные в строках с i-ой по n-ую. Из этих коэффициентов находится наибольший по модулю и затем уравнения с i-ого по n-ое переставляются так, чтобы наибольший по модулю коэффициент оказался на месте ведущего. Рассматриваемая модификация метода Гаусса, называется – также методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу.Такой прием позволяет уменьшить погрешность округления получаемых результатов.

Рассмотрим, как определить погрешность решения системы методом Гаусса. Можно рассмотреть две величины, характеризующие степень отклонения приближенного вычисления от точного: - погрешность решения, - невязка, где - точное решения системы (2), - приближенное решение