Метод касательных. Рассмотрим алгоритм построения итерационной последовательности метода касательных, используя геометрический язык

Рассмотрим алгоритм построения итерационной последовательности метода касательных, используя геометрический язык. Построим график функции f(x) на [a, b]. И пусть эта функция имеет на данном отрезке единственный корень.

Возьмем x₀ [a, b] и построим касательную к графику функции в точке x₀. Найдем точку пересечения касательной с Ox и обозначим ее через x₁. Затем построим касательную в точке x₁ и обозначим точку пересечения ее с осью Ox через x₂. Продолжая этот процесс, получим итерационную последовательность.

Не трудно проверить, что члены итерационной последовательности получаются по формуле: x_n+1=x_n-

В результате получим итерационный метод, который называется методом касательных. Сформулируем достаточные условия сходимости метода касательных:

Теорема 6. Пусть:

1. f(x)

2. f(a)f(b)< 0

3. f^’(x) и f^’’(x) знакопостоянны на [a, b]

4. итерационная последовательность имеет вид:

x_n+1=x_n- , n=0, 1, 2,..

x₀=

Тогда, , где X_c- единственный корень уравнения (1) на [a, b].

Доказательство: Существование и единственность x_c уравнения (1) следует из условия (2) и знакопостоянства производной на [a, b].

Докажем, что построенная итерационная последовательность сходится к x_c. При выполнении условия теоремы возможны четыре случая:

1. монотонно убывающая последовательность, ограниченная снизу

2. монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху

3. монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху

4. монотонно убывающая последовательность, ограниченная снизу

Во всех четырех случаях последовательность сходится. Докажем, что она сходится к x_c. x_n+1=x_n-

limx_n+1=limx_n- , т.к. x_c-единственный корень уравнения.