Метод половинного деления. Пусть уравнение f(x)=0 имеет на отрезке [a, b] единственный корень, причем функция f(x) на этом отрезке непрерывна

Пусть уравнение f(x)=0 имеет на отрезке [a, b] единственный корень, причем функция f(x) на этом отрезке непрерывна. Разделим [a, b] пополам точкой c=(a+b)/2. Если f(c) , то возможны 2 случая: функция имеет разные знаки на концах отрезка [a, c], либо на концах отрезка [c, b].

Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.

Сформулируем достаточные условия сходимости этого метода:

Теорема 3. Если

1. функция f(x) непрерывна на [a, b];

2. f(a)f(b)< 0;

3. уравнение (1) имеет на [a, b] единственный корень x_c

4. члены итерационной последовательности вычисляется по формуле: , n N, где a₁=a, b₁=b

,

Тогда

1. (итерационная последовательность сходится к корню уравнения)

2. n (оценка погрешности приближения).