Действия над приближенными числами.

Численные методы.

Курс численных методов является важной составной частью математической подготовки студентов. Бурное развитие новейшей техники и все большее внедрение современных разделов математики в инженерные исследования привело к тому, что в настоящее время математическое образование инженера не может ограничиться разделами «классического анализа». От современного инженера, работающего в научно-исследовательском институте, требуется основательное владение методами вычислительной математики, т.к. решение почти каждой инженерной задачи должно быть доведено до численного результата.

Основной задачей дисциплины является приобретение знаний по формализации научно-исследовательских и инженерных задач (составлению математических моделей) и использованию современных средств автоматизации математических расчетов.

Для решения конкретных вычислительных задач студент должен уметь выбирать численные или оптимизационные методы, уметь разрабатывать новые или использовать известные методы для их программной реализации, а также уметь решать поставленные задачи с помощью пакетов прикладных программ.

Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании технических устройств и процессов, можно разбить на ряд элементарных задач: нахождение корней уравнения, вычисление интегралов, решение дифференциальных уравнений, определение экстремумов функции и т.д. Для таких задач разработаны методы решения, созданы программы их реализации на компьютерах. Решение таких задач составляет основу курса численных методов.

Действия над приближенными числами.

Практические расчеты производятся обычно с приближенными числами и по приближенным формулам. Исходные данные для расчетов получают путем измерений, которые всегда содержат какие-либо погрешности. Поэтому возникает вопрос о точности расчета, о количестве цифр, которые следует сохранять при вычислениях.

П р и м е р. Измерив длину комнаты l = 5, 82 ми ширину ее h = 3, 46 м, считают площадь комнаты равной

S = l ∙ h = 20, 1372 м².

Однако, абсолютно точных измерений нет. Допустим, что ошибка при измерении каждого размера комнаты составляет 1 см. При одновременной ошибке в сторону уменьшения результат вычисления площади комнаты будет

S₁ = 3б, 45 ∙ 5, 81= 20, 0445

При ошибке в сторону увеличения:

S₂ = 3, 47 ∙ 5, 83 = 20, 2301.

Как видно, уже первые десятичные знаки результатов различны. Следовательно, удерживать последующие десятичные знаки нет никакого смысла. Сохранение лишних десятичных знаков усложняет расчет, не увеличивая точности результата.

Приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного А и заменяющее последнее в вычислениях.

Для того чтобы грамотно выполнять действия над приближенными числами, необходимо знать определенные правила. ∙

Абсолютная погрешность.

Абсолютной погрешностью Δ приближенного числа а называется абсолютная величина разности между соответствующим точным числом А и числом а, т.е.

Δ = | A – a|. (1)

Нужно различать два случая.

Отсюда следует, что точное число А заключено в границах

a − Δ _а ≤ A ≤ a + Δ _а (3)

a − Δ _а − приближение числа А по недостатку.

a + Δ _а − приближение числа А по избытку.

В этом случае для краткости пользуются записью.

А = а ±Δ _а (3)

П р и м е р. Определить предельную абсолютную погрешность числа а = 3.14, заменяющего число π.

Р е ш е н и е. Т.к. имеет место неравенство

3, 14 < π < 3, 15, то |a – π | < 0, 01,

следовательно, можно принять Δ _а = 0, 01.

Если учесть, что

3, 14 < π < 3, 142,