Является единственным корнем уравнения

x = φ (x)

Можно показать также, что чем меньше q, тем лучше сходимость итерационного процесса. Рассмотрим далее вопрос о точности приближенных значений корня.

Пусть f(x) = x − φ (x), тогда f′ (x) =1 − φ ′ (x) ≥ 1 – q, отсюда, учитывая, что f(ξ) = 0, получим

|x _n – x_{n + 1}| = |φ (x _{n − 1}) - φ (x_n)| = = |f ′ (c_n)| |x _n – x _{n − 1}| ≤ q |x_n – x_{n – 1}|

|x _n− x_{n + 1}| = |x _n - φ (x_n)| = |f(x_n) – f(ξ)| = f ′ (c_n) |x_n – ξ | = (1 − φ ′ c_n)) |x _n – ξ | ≥ (1 – q) |x _n – ξ |

Отсюда

(2)

Формула (2) дает возможность оценить погрешность приближенного значения х _n по расхождению двух последовательных приближений x _{n – 1} и x _n.

Пусть ε – предельная абсолютная погрешность корня ξ. Процесс итерации следует продолжать до тех пор, пока для двух последовательных приближений x _{n – 1} и x _n не будет выполняться неравенство

|x _n − x _{n – 1}|

Выясним далее, как привести уравнение f(x) = 0 к виду (1). Пусть φ (x) = λ f(x) + x. Если x = ξ - корень уравнения f(x) = 0, то φ (ξ) = ξ, т.е. x = ξ – корень уравнения (1). Таким образом, уравнение x = x + λ f(x) равносильно уравнению f(x) = 0. Подберем λ так, чтобы выполнялось условие (*).

Пусть m < | f(x)|< M. Если f′ (x) > 0, то − ¹/ _M < λ < 0, если f′ (x)< 0, то 0 < λ < ¹/ _M.

Если f′ (x)< 0, то

φ (x) = λ f(x) + x ≤ ^f(x)/ _M + x

φ ′ (x) = ¹/ _M f′ (x) + 1 ≤ 1− ^m/ _M

q = 1 − ^m/ _M

Если f′ (x) > 0, то λ = − ¹/ _M < 0, φ (x) ≤ x − ^f(x)/ _M, φ ′ (x) = 1 − ¹/ _M f′ (x) ≤ 1 − ^m/ _M

q = 1 − ^m/ _M