Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
За исходную точку х0 следует выбирать тот конец промежутка [a, b], в котором знак функции совпадает со знаком второй производной, т.е. f(x0) ∙ f″(x0) > 0.
|
|
Для оценки погрешности приближенного значения корня х n запишем формулу Лагранжа.
Пусть |f′ (x)| ≥ m1 на промежутке [a, b] (m1 – наименьшее значение модуля производной на рассматриваемом интервале). Тогда
Блок-схема программы нахождения корня уравнения f(x) = 0 методом Ньютона имеет вид
Пусть x - начальное приближение корня,
Е – точность вычисления, mt – наименьшее значение f′ (x) на отрезке [a, b],
n – счетчик количества итераций
Ввод
x, E, mt
 |
n = 0
 |
n = n +1
 |
t = f(x)/f′ (x)
x = x - t
нет f2 = f(x)
 |
Вывод
n, x, f(x)
 |
Да
Вывод n, x, f(x)
|
П р и м е р. Найти корень уравнения 1 – 3x + cosx = 0 методом Ньютона с точностью
Е = 10-4.
Ранее было выяснено, что корень уравнения находится на интервале [-1, 1].
f(x) = 1 – 3x + cosx. f′ (x) = − 3 – sin x. Наименьшее значение производной mt равно -4,
f″ (x) = -cos x < 0 на интервале [ -1, 1], f (1) = - 2 + cos 1 < 0. За начальную точку х берем х = 1.
Программа на языке QBASIC имеет вид:
x = 1
E =.0001
mt = 4
n = 0
n1: n = n + 1
t = (1 - 3 * x + COS(x)) / (-3 - SIN(x))
x = x - t
f2 = 1 - 3 * x + COS(x)
IF ABS(f2) / mt < E THEN WRITE x, " root", f2, n, E: GOTO n2
GOTO n1
n2: END
Результат, данный программой, имеет вид х =.6071206 - root.