![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Лабораторна робота № 1. Тема: методи розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівняньСтр 1 из 8Следующая ⇒
ТЕМА: Методи розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь Розв’язання рівнянь – алгебраїчних і трансцендентних – являє собою одну з істотних задач прикладного аналізу, потреба в якій виникає в найрізноманітніших розділах фізики, техніки і природознавства. Задача визначення кореня рівняння з одним невідомим ƒ (x) = 0, (1.1) де ƒ (x) – безперервна функція, складається з двох етапів: 1) відділення кореня, тобто визначення числового проміжку, у якому міститься один корінь рівняння; 2) уточнення значення кореня шляхом побудови послідовності xк = φ (xк-1), к = 1, 2, 3,... на основі відповідного методу. Для уточнення значення кореня існують різні ітераційні методи. 1.1 Відділення числового проміжку, у якому міститься один корінь рівняння 1.1.1 Відділення кореня графічно (перший спосіб) Якщо рівняння (1.1) зручно представити у вигляді g (х) – h (х), (1.2) то абсцису х0 точки перетинання графіків у = g(х) і у = h (х) можна знайти по кресленню. Величину х0 визначити з достатньою точністю графічно не можливо. Тому варто вибрати такий числовий проміжок [a; b] для якого свідомо виконується нерівність a ≤ х0 ≤ b. Різні знаки функції при х =а і х = b ƒ (а) * ƒ (b) ≤ 0 (1.3) свідчать про наявність кореня в проміжку [a; b].
1.1.2 Другий спосіб відділення кореня Цей спосіб містить звичайне табулювання функції у = ƒ (х) на інтервалі існування функції, при цьому ступінь зміни аргументу підбирається значимим. І знову, різні знаки функції при х =а і х = b, тобто ƒ (а) * ƒ (b) ≤ 0 свідчать про наявність кореня в проміжку [a; b]. 1.2 Уточнення значення кореня рівняння ƒ (x) = 0
1.2.1 Метод половинного ділення (метод бісекцій) Умова застосовності методу половинного ділення припускає безперервність функції ƒ (х) на проміжку [a; b]. Уточнення значення кореня проводиться шляхом побудови послідовності, що сходиться
xк =(ак + bк) / 2, к = 1, 2, (1.4)
За а1, b1 приймаємо відповідно а, b. Припускаючи, що наближення xn (де n – фіксоване значення к) відомо, для знаходження xn+1 вибираємо наступні значення an+1, bn+1 в залежності від знака добутку f(an ) * f(xn). Якщо f(an ) * f(xn) < 0, то bn+1 вважаємо рівним знайденому значенню xn і an+1 рівними an, інакше bn+1 = bn, an+1 = xn. На рис. 1.1 зображена поведінка послідовних наближень у випадку ƒ (а) < 0, ƒ (b) > 0.
Рисунок 1.1 – Графічне зображення методу бісекцій
Рішення рівняння (1.1) вважається знайденим з точністю Е, якщо виконається умова | хк + 1 – хк | < Е (1.5) 1.2.2 Метод хорд (метод пропорційних чисел) Умови збіжності методу припускають, що ƒ ' (x) і ƒ '' (x) зберігають знак на проміжку [a; b]. Побудова послідовності, що сходиться, проводиться по формулі хк = хк – 1 - ƒ (хк – 1) * (с - хк – 1) / (ƒ (с) - ƒ (хк – 1)), к = 1, 2,... (1.6) де с – нерухомий кінець проміжку. Якщо ƒ (а) * ƒ '' (а) > 0, то за нерухомий кінець приймається а, тоді х0 = b. У противному випадку, нерухомий кінець b, а як нульове наближення вибирається а. На рис. 1.2 зображене поводження послідовних наближень у випадках: а) ƒ (а) > 0, ƒ '' (а) > 0; б) ƒ (а) < 0, ƒ '' (а) < 0.
Рисунок 1.2 – Графічне зображення методу хорд (послідовні наближення)
Процес наближення відбувається до виконання умови (1.5), або доки ƒ (хк) | ≤ Е (1.7)
|