Лабораторна робота №4. Тема: наближення (інтерполяція) функцій

ТЕМА: Наближення (інтерполяція) функцій

4.1 Теоретичні відомості

Задача наближення функції виникає, коли для функції, даної при дискретних значеннях аргументу у вигляді таблиці (ці значення називаються вузлами інтерполяції) необхідно знайти значення функції в проміжних крапках. Накладаючи вимогу, щоб наближена функція у вузлах співпадала з табличними значеннями (рис. 4.1), одержуємо задачу інтерполяції.

Рисунок 4.1 – Графік наближеної функції

Нехай в результаті спостережень за ходом деякого процесу побудована таблиця:

Тобто, функція f(x) задана таблицею значень для кінцевої безлічі значень х.

Якщо необхідно знайти значення f(x) для проміжного значення аргументу, то будують функцію φ (x), просту для обчислень і таку, що для заданих x₀, x₁, x₂,..., x_n приймає значення f(x₀), f(x₁), f(x₂),..., f(x_n).

В інших точках відрізка [x_0, x_n] вважаємо, що φ (x) приблизно визначає функцію f(x) з тим чи іншим ступенем точності.

Найчастіше, функцію φ (x) представляють у вигляді алгебраїчного багаточлена деякого ступеня.

Найпростіша інтерполяція – це лінійна, тобто, коли невідому аналітичну залежність f(x) замінюють відрізками прямих, які проходять через відповідні вузли інтерполяції. В цьому випадку потрібно визначити якому відрізку належить надане х^* і за формулою лінійної інтерполяції знаходять f(x^*). Якщо x_i < = x^* < = x_i+1, то відповідна пряма проходить через вузли (x_i, f(x_і)), (x_i+1, f(x_і+1)):

(4.1)

Точність підрахунків в цьому випадку незначна, тому що враховується вплив тільки 2-ох вузлів інтерполяції. Частіше будують багаточлен P_n(x) ступеня n, що в (n+1) даних точках x₀, x₁, x₂,..., x_n. приймає дані значення y₀ = f(x₀), y₁ = f(x₁), …, y_n = f(x_n), тобто

f(x_і) = P_n(x_і), (і = 0, 1, 2,..., n).

Відзначимо, що двох різних інтерполяційних багаточленів одного і того же ступеня n існувати не може. Цим умовам задовольняє інтерполяційний багаточлен Лагранжа:

(4.2)

Тоді

4.2 Індивідуальні завдання

Для кожного варіанту обчислити наближене значення функції, яка задана таблицею, для наданого х^*, використовуючи лінійну інтерполяцію по Лагранжу.

4.2.1 х^* = 1, 50

4.2.2 х^* = 0, 45

4.2.3 х^* = 0, 66

4.2.4 х^* = 3, 2

4.2.5 х^* = 3, 50

4.2.6 х^* = 0, 85

4.2.7 х^* = 1, 74

4.2.8 х^* = 4, 51

4.2.9 х^* = 1, 90

4.2.10 х^* = 3, 82

4.2.11 х^* = 2, 22

4.2.12 х^* = 5, 32

4.2.13 х^* = 1, 35

4.2.14 х^* = 0, 80

4.2.15 х^* = 2, 85

4.2.16 х^* = 0, 60

4.2.17 х^* = 1, 52

4.2.18 х^* = 3, 50

4.2.19 х^* = 1, 44

4.2.20 х^* = 0, 56

4.2.21 х^* = 1, 82

4.2.22 х^* = 2, 50

4.2.23 х^* = 3, 35

4.2.24 х^* = 1, 50

4.2.25 х^* = 1, 56

4.2.26 х^* = 1, 08

4.2.27 х^* = 3, 33

4.2.28 х^* = 1, 44

4.2.29 х^* = 1, 50

4.2.30 х^* = 1, 74

4.3 Приклади виконання лабораторної роботи

Приклад 4.3.1 Обчислити наближене значення функції, заданої у вигляді таблиці для х^*=0, 702, використовуючи лінійну інтерполяцію.

Вирішимо задачу у середовищі Excel. На листі з ім’ям “Лін_інтерполяція” розмістимо надану таблицю значень, як показано на рис. 4.1.

Рисунок 4.1 – Зразок листа Excel “Лін_інтерполяція”

Для цього до клітини D2 введемо формулу (4.1):

= ЕСЛИ(И($С$2> =A2; $C$2< =A3); B2+($C$2–A2)*(B3–B2)/(A3-A2): “”)

Використовуючи маркер заповнювання, копіюємо формулу до клітини С3: С6. Якщо х^* є [ x₀, x_n], то відповідне y^* буде підраховане, як показано на рис. 4.2.

Якщо x^* не належить [ x₀, x_n] будемо мати пустий стовпчик С, тобто лінійну інтерполяцію в цьому випадку не можна використовувати.

Протокол рішення зображено на рис. 4.2.

Рисунок 4.2 – Протокол рішення

Приклад 4.3.2 Обчислити наближене значення функції, заданої у вигляді таблиці для х^*=0, 702, використовуючи інтерполяцію по Лагранжу.

Як і у попередньому прикладі, можна розмістити початкові дані, тобто значення х^*, та таблицю значень на листі Excel з ім’ям „Лагранжа”, як показано на рис. 4.3.

Рисунок 4.3 – Зразок листа Excel „Лагранжа”

Помістимо об’єкт – „командна кнопка” з ім’ям CommandButton1, змінимо відповідні властивості Caption, Font. Зв’яжемо з подією Click на кнопці процедуру побудови інтерполяційного багаточлена Лагранжа, та підрахунку значення функції для заданого х^*=0, 7.

Текст процедури:

Протокол рішення зображено на рис. 4.4.

Рисунок 4.4 – Протокол рішення прикладу