Лабораторна робота № 2

ТЕМА: Методи розв’язання систем нелінійних рівнянь

Розв’язання систем нелінійних рівнянь – важливіша задача прикладного аналізу. Розглянемо методи розв’язання на системі двох рівнянь з двома невідомими:

(2.1)

Ця задача складається з двох етапів:

1) відділення кореня, тобто визначення першого наближення до рішення;

2) уточнення значення кореня шляхом побудови відповідної послідовності наближень ітераційними методами.

2.1 Відділення першого наближення до рішення

Відділення початкового наближення можна зробити за допомогою графічних можливостей Excel, якщо систему (2.1) можна представити у вигляді:

(2.2)

х₀, у₀ визначаються як координати точки перетинання цих графіків.

Відокремити початкове наближення х₀, у₀ до рішення системи можна із області існування змінних х, у для рівнянь (2.1).

2.2 Методи уточнення рішення системи нелінійних рівнянь

2.2.1 Метод ітерацій

Зведемо систему (2.1) до вигляду

, (2.3)

по встановленому початковому наближенню до рішення х₀, у₀, уточнення рішення відбувається за формулами:

(2.4)

Умови збіжності методу припускають, що

(2.5)

Рішення системи (2.1) вважається знайденим з точністю ε, якщо виконуються умови:

2.2.2 Використання пакету аналізу Excel

Рішення систем нелінійних рівнянь відбувається через меню „Сервис” та інструмент „Поиск решения”.

У вікні „Поиск решения” треба визначитись з адресами цільової функції та адресами, де буде розміщене рішення системи х_n+1, y_n+1.

Вказати за допомогою перемикача значення цільової функції (максимальне, мінімальне чи нульове). Якщо систему (2.1) можна визначити у вигляді

то

за цільову функцію вибирають =СРОТКЛ(;) - середньоквадратичне відхилення від , як показано на рис. 2.1.

Рисунок 2.1 – Приклад визначення цільової функції

У загальному випадку будують функцію , яку визначають як цільову. Вікно пошуку рішення показано на рис. 2.2.

Рисунок 2.2 – Вікно „Поиск решения”

Зверніть увагу, що у групі „Равной” встановлено перемикач в положення „значению”, а в полі вводу вказано значення 0.

Додатково необхідно у діалоговому вікні „Параметри поиска решения” зняти прапорець біля „Линейная модель” і натиснути на „Выполнить”.

2.3 Індивідуальні завдання

Для кожної системи нелінійних рівнянь визначити початкове наближення до рішення та уточнити це рішення з точністю ε = 0, 001.

2.3.1

1) 2)

2.3.2

1) 2)

2.3.3

1) 2)

2.3.4

1) 2)

2.3.5

1) 2)

2.3.6

1) 2)

2.3.7

1) 2)

2.3.8

1) 2)

2.3.9

1) 2)

2.3.10

1) 2)

2.3.11

1) 2)

2.3.12

1) 2)

2.3.13

1) 2)

2.3.14

1) 2)

2.3.15

1) 2)

2.3.16

1) 2)

2.3.17

1) 2)

2.3.18

1) 2)

2.3.19

1) 2)

2.3.20

1) 2)

2.3.21

1) 2)

2.3.22

1) 2)

2.3.23

1) 2)

2.3.24

1) 2)

2.3.25

1) 2)

2.3.26

1) 2)

2.3.27

1) 2)

2.3.28

1) 2)

2.3.29

1) 2)

2.3.30

1) 2)

2.4 Приклади виконання лабораторної роботи

Приклад 2.4.1 Розв’язати систему нелінійних рівнянь з точністю ε = 0, 001 методом ітерацій.

(2.4.1)

1) Визначимо початкове наближення графічно, для чого перепишемо систему (2.4.1) у вигляді:

та протабулюємо у середовищі Excel, як показано на рис. 2.3.

Рисунок 2.3 – Приклад табулювання функції у середовищі Excel

Виділимо дані у стовпчиках А та В, та активізуємо „Майстра діаграм”.

Вибираємо на першому кроці тип діаграми - „точечная”, на другому кроці на вкладинці „Ряд” для ряду 1 змінимо ім’я на у.

У групі „Ряд” натиснемо на кнопку „Добавить”, вкажемо ім’я другої функції х.

У полі для „значення х” вказати діапазон значень стовпчика С, тобто стовпчика, де розміщені відповідні значення другої функції х.

У полі для „значення у” вказати діапазон значень стовпчика А, стовпчика, де розміщені значення у для функції х, зразок наведено на рис. 2.4.

Рисунок 2.4 – Другий крок – вікно „Исходные данные”

Якщо на графіку немає точки перетинання цих функцій, то треба змінити значення стовпчика А.

2) Для уточнювання знайдених х₀, у₀ додамо модуль у проект цієї книги, або розмістимо на „Лист1” кнопку CommandButton1, де запишемо відповідну процедуру.

Надана система має вигляд (2.3). Перевіримо виконання умови збіжності методу ітерацій (2.5):

Текст процедури:

Протокол рішення наведено на рис. 2.5.

Рисунок 2.5 – Протокол рішення системи

Приклад 2.4.2 Розв’язати систему нелінійних рівнянь

(2.4.2)

використовуючи пакет аналізу Excel.

1) Для визначення х₀, у₀ протабулюємо функцію в середовищі Excel:

(sin(2x - y) - 1, 2x - 0, 4)² + (0, 8x² + 1, 5y² – 1)² = 0.

Зразок наведено на рис. 2.6.

Рисунок 2.6 – Табулювання функції в середовищі Excel

У таблиці знайдемо саме наближене до 0 значення функції. Відповідні йому х, у і будуть визначати х₀, у₀, тобто, х₀ = -0, 3, у₀ = -0, 8.

Результат показано на рис. 2.7.

Рисунок 2.7 – Таблиця значень функції

2) Згідно пакету аналізу розмістимо ці значення у відповідних клітинах та запишемо визначену функцію. Використовуючи „Поиск решения” вказуємо адреси, як показано на рис. 2.8.

Рисунок 2.8 – Вікно „Поиск решения” з заданими параметрами

Підрахуємо значення системи для знайденого рішення. Відповідні результати показані на рис. 2.9.

Рисунок 2.9 – Результати обчислень