![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод Ньютона (метод дотичних)
Умови збіжності методу припускають, що ƒ ' (x) і ƒ '' (x) зберігають знак на проміжку [a; b]. Уточнення значення кореня проводиться шляхом побудови збіжності послідовності. хк = хк – 1 - ƒ (хк – 1) / ƒ ' (хк – 1), к = 1, 2, 3,... (1.8) За х0 приймаємо той з кінців проміжку [a; b], на якому виконується умова ƒ (х0) * ƒ ''(х0) > 0 (1.9) Поведінка послідовних наближень при ƒ (а) < 0, ƒ '' (а) < 0 (а); ƒ (а) > 0, ƒ '' (а) > 0 (б) ілюструється на рис. 1.3.
Рисунок 1.3 – Графічне відображення методу дотичних Процес наближення відбувається до виконання умови (1.5), або (1.7). 1.2.4 Використання пакету аналізу „что - если” Excel Чисельний аналіз даних зазвичай відбувається через меню „Сервис”. Інструмент „Подбор параметра” дозволяє знайти значення аргументу, задовольняючого наданому значенню функції. Якщо необхідно вирішити рівняння ƒ (x) = 0, треба визначити адресу клітини, куди буде занесене початкове значення кореня. Саме рівняння ƒ (x) записується в іншій клітині з посиланням на першу. У вікні „Подбор параметра” вказуємо початкові значення параметрів, зразок на рис.1.4.
Рисунок 1.4 – Вікно „Подбор параметра”
Для уточнювання знайденого рішення потрібно в меню „Сервис / Параметри” на вкладниці „Вычисления” змінити значення відповідних параметрів: кількість ітерацій; погрішність.
1.3 Індивідуальні завдання Для кожної функції визначити числовий проміжок у якому міститься один корінь рівняння, уточнити значення кореня вказаними вище методами. 1.3.1 1.3.2 1) 2) 3) 4) 1.3.3 1.3.4 1) 2) 3) 4)
1.3.5 1.3.6 1) 2) 3) 4) 1.3.7 1.3.8 1) 2) 3) 4) 1.3.9 1.3.10 1) 2) 3) 4) 1.3.11 1.3.12 1) 2) 3) 4) 1.3.13 1.3.14 1) 2) 3) 4) 1.3.15 1.3.16 1) 2) 3) 4) 1.3.17 1.3.18 1) 2) 3) 4) 1.3.19 1.3.20 1) 2) 3) 4) 1.3.21 1.3.22 1) 2) 3) 4)
1.3.23 1.3.24 1) 2) 3) 4) 1.3.25 1.3.26 1) 2) 3) 4) 1.3.27 1.3.28 1) 2) 3) 4) 1.3.29 1.3.30 1) 2) 3) 4) 1.4 Приклади виконання лабораторної роботи
Приклад 1.4.1 Розв’язати нелінійне рівняння 2 - lg x – x = 0 з точністю ε = 0, 001 методом бісекцій. 1) Відокремимо корінь рівняння графічно, для чого дане рівняння представимо у вигляді lg x = - x + 2. Побудуємо графіки функцій y = lg x i y = - x + 2.
Рисунок 1.5 – Графічне відокремлення кореня рівняння
З рис. 1.5 видно, що шуканий корінь лежить на інтервалі [1; 2]. Перевіримо умову ƒ (а) * ƒ (b) < 0:
ƒ (1) = 2-lg 1 – 1 = 1 > 0 ƒ (2) = 2-lg 2 – 2 ≈ -0, 301 < 0, тобто а1 = 1; b1 = 2.
2) Напишемо програму чисельного розв’язання вказаного рівняння методом бісекцій, для чого на „Лист1” Excel помістимо об’єкт – „командна кнопка ” з ім’ям CommandButton1, як показано на рис. 1.6. Щоб вбудувати кнопку на Лист, виконайте наступні дії: 1) активізуйте кнопку „Конструктор” 2) активізуйте панель „Елементи керування” за допомогою кнопки 3) клацніть мишею на елементі керування „Кнопка”, а потім клацніть на Лист1 Excel. З’явиться кнопка з написом CommandButton1. 4) у вікні властивостей „Кнопки” змініть властивості: − Caption: текст „CommandButton1” на текст „Уточнення методом бісекцій”; − Font: зазначений розмір 12 і жирний; − Multiline: True; − WordWrap: True. 5) щоб зв’язати з подією Click на кнопці процедуру уточнення кореня рівняння методом бісекцій, двічі клацніть на самій кнопці. Відкриється вікно модуля, в якому написано заголовок процедури:
Sub CommandButton1_Click()
Перш, ніж записати відповідну програму, змінимо ім’я листа книги Excel: „Лист1” на „прим1”.
Рисунок 1.6 – Приклад розташування командної кнопки на листі Excel
Текст процедури:
Виходимо із режима „Конструктор”. Введемо початкові значення для а, b, ε у відповідні клітини листа „прим1”. Натискаючи на командну кнопку, результати уточнювання кореня побачимо також на листі „прим1”, як на рис. 1.7.
Рисунок 1.7 – Результат обчислень за методом бісекцій
Приклад 1.4.2 Розв’язати нелінійне рівняння 2 - lg x – x = 0 з точністю ε = 0, 001 методом хорд. 1) Відокремимо корінь рівняння звичайним табулюванням функції на інтервалі [a; b] в середовищі Excel. Значення а, b підбираємо таким чином, щоб вказана функція існувала і була неперервна. Кількість розподілу інтервалу задаємо такою, щоб шаг (крок) зміни змінної був значимим. В клітину E2 введемо формулу: = (C2 – B2) / D2, в B5: = B2, в B6: = B5 + $E$2, в C5: = 2 – LOG10(B5) – B5, в клітину А2 введемо значення точності обчислень ε, як показано на рис. 1.8.
Рисунок 1.8 – Зразок заповнення клітин початковими даними
Таблицю заповнюємо за допомогою маркера заповнення
Рисунок 1.9 – Приклад вибору проміжку для х
Як і в попередньому випадку розміщуємо командну кнопку на Лист2 з ім’ям CommandButton1, змінюємо відповідні властивості: Caption текст „CommandButton1” на текст „Уточнення методом хорд”. Зв’яжемо з подією Click на кнопці процедуру уточнення кореня рівняння методом хорд. Знайдемо другу похідну:
Створимо дві функції користувача. Текст процедури:
Зразок протоколу рішення наведено на рис. 1.10.
Рисунок 1.10 – Протокол рішення
Приклад 1.4.3 Розв’язати нелінійне рівняння 2 - lg x – x = 0 з точністю ε = 0, 001 методом дотичних. 1) Відокремимо корінь рівняння одним з двох способів. 2) Створимо форму, в якій розмістимо такі елементи керування: − Написи Label1, Label2, Label3, Label4, Label5, у яких властивості Caption змінені на тексти, зазначені на рис. 1., тобто: eps =, a =, b =, корінь =, значення функції =. Крім того, у написів змінена властивість Font – шрифт, жирность; − Текстові поля TextBox1 – для введення значення ε; TextBox2, TextBox3 – для введення значень інтервалу а, b; TextBox4, TextBox5 – для виведення результатів розрахунку. Також для цих елементів керування змінені властивості Name на te, ta, tb, xk, fun відповідно; − Командна кнопка CommandButton1, з якою зв’язується процедура введення та уточнювання кореня методом дотичних. Для неї змінена властивість Caption на текст „Рішення нелінійних рівнянь методом дотичних”. Зразок форми наведений на рис. 1.11.
Рисунок 1.11 – Приклад форми
Перш ніж написати процедуру визначимось з похідними: ƒ (х) = 2 - lg х – х На рис. 1.12 наведена форма в процесі роботи. Користувач повинен ввести числа: eps, a, b в текстові поля і клацнути на кнопці „Уточнення методом дотичних”. Там же з’являться результати роботи програми.
Рисунок 1.12 – Зразок форми в процесі роботи
Текст програми:
Приклад 1.4.4 Розв’язати нелінійне рівняння 2 - lg x – x = 0 методами чисельного аналізу Excel. 1) Відокремимо початкове значення кореня рівняння одним з вказаних вище способів. 2) Шукаємо рішення в клітині A2, заносимо початкове значення кореня, наприклад, 1, рис. 1. Саме рівняння запишемо в B2: = 2 – LOG10(A2) – A2. Використовуємо меню Сервис / Подбор параметра. У вікні вказуємо аргументи, як на рис. 1.13.
Рисунок 1.13 – Вікно „ Подбор параметра”
Рішення побачимо в клітинах A2 та B2, як показано на рис. 1.14.
Рисунок 1.14 – Результати обчислень
|