Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
В л а с т и в о с т і е л і п с а
|
|
1 .Еліпс належить до кривих другого порядку (це випливає із канонічного
рівняння еліпса).
2 .Еліпс є обмеженою кривою.
3 .Еліпс має вертикальну та горизонтальну осі симетрії, а також центр симетрії.
4 .Еліпс перетинає осі координат у точках A1(-a; 0), A2 (a; 0), B1(0; -b), B2(0; b), які є вершинами еліпса.
Величини 2а і 2b називаються відповідно великою та малою осями еліпса, а а і b - напівосями.
(Таким чином, еліпс вміщується в прямокутник із сторонами 2а і 2b. Сторони прямокутника дотикаються до еліпса в його вершинах.)
5. За напівосями можна побудувати еліпс
(беруть нерозтяжну нитку довжиною 2а; кінці нитки закріплюють у фокусах F1 і F2; олівцем натягують нитку і креслять еліпс).
Якщо у канонічному рівнянні еліпса а =b, то дістанемо рівняння кола 
= 
з центром у початку координат і радіусом b.
(Оскільки для еліпса 
, то при а = b маємо с =0. Таким чином, коло – це еліпс, у якого фокуси збігаються з центром симетрії, тобто фокальна відстань дорівнює нулю.)
Еліпс, фокуси якого лежать на осі ОY
Якщо фокуси еліпса F1(0; c), F2(0; - c) лежать на осі ОY, то його канонічне рівняння має вигляд
, b> а(5)
cпіввідношення між а, b і c: 
Координати вершин еліпса A1(a; 0), A2 (-a; 0), B1(0; b), B2(0; -b),
B1 B2 = 2b – велика вісь,
A1 A2 = 2a – мала вісь,
F1 F2 = 2с - фокальна відстань.
Слід зауважити, що звичайним циркулем еліпс побудувати неможливо, бо будь-якої довжини дуга не може збігатися з будь-якою частиною еліпса. Фігура, подібна за формою до еліпса і побудована за допомогою циркуля, не еліпс, а овал. Еліпс одержується механічно шляхом обертання гнучкого круга кільцевої форми.
Ексцентриситет еліпса
Для характеристики еліпса вводять поняття ексцентриситета еліпса, який характеризуєвідхилення еліпса від кола – степінь «витягнутості» еліпса.
Означення: Ексцентриситетом еліпса називається відношення відстані між фокусами до довжини великої осі.
Ексцентриситет еліпса позначається буквою ε:
ε 
або ε 
.
Оскільки, за означенням 2а > 2с, то ексцентриситет еліпса ε завжди є правильним дробом, тобто 0 
ε 
.
Якщо величина ексцентриситету еліпса ε ≈ 1, то еліпс сильно «витягнутий» уздовж
великої осі; при малому значенні ексцентриситету еліпса ε (ε ≈ 0 ) еліпс близький до кола. Якщо ε = 0, то еліпс перетворюється в коло.
Приклади розв’язування задач
Приклад 1. Еліпс задано рівнянням 
. Визначити довжину його осей, координати вершин і фокусів.
Розв΄ язання:
Зведемо рівняння еліпса до канонічного рівняння, поділивши обидві частини даного рівняння на 36, дістанемо
.
звідки 
і 
, або а = 3 і b = 2. Отже, велика вісь еліпса A1 A2 = 2а=6, мала B1 B2 = 4.
Вершинами еліпса будуть точки A1(-3; 0), A2 (3; 0), B1(0; -2), B2(0; 2). Для відшукання фокусів використаємо 
, звідки
,
.
Отже, фокусами будуть точки F1(- 
; 0), F2( ; 0).
Відповідь: довжини осей - A1 A2 =6, B1 B2 = 4; координати вершин - A1(-3; 0), A2 (3; 0), B1(0; -2), B2(0; 2); координати фокусів - F1(- ; 0), F2( ; 0).
Приклад 2. Знайти координати фокусів, довжини осей і ексцентриситет еліпса, заданого рівнянням 
.
Розв΄ язання:
Зведемо рівняння еліпса до канонічного рівняння, поділивши обидві частини рівності на 32:
,
.
Одержали, що 
, 
, звідки а = 4 і b = 
.
Оскільки b > а, то фокуси еліпса розташовані на осі ординат. Вони мають координати F1(0; c), F2(0; - c), де 
знаходимо із співвідношення r w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> 
.
Підставимо значення а = 4 і b 
, одержимо
; 
, c = 4.
Отже, фокусами будуть точки F1(0; 4), F2(0; -4).
Знайдемо: велику вісь еліпса 2b = 
; малу вісь 2a = 8; ексцентриситет еліпса
ε 
.
Відповідь: координати фокусів - F1(0; 4), F2(0; -4); довжини осей - 2b = , 2a = 8;
ε 
.
Приклад 3. Скласти канонічне рівняння еліпса, у якого мала вісь дорівнює 6, а відстань між фокусами - 8.
Розв΄ язання:
Оскільки мала вісь 2b = 
, а 2с = 8, то b = 
, c = 4. Тоді фокуси розташовані на осі ОХ.
Із cпіввідношення міжа, b і c: r w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> 
, знайдемо а:
r w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> 
,
, тобто 
.
Отже, канонічне рівняння еліпса має вигляд 
.
Відповідь: 
.
Приклад 4. Записати канонічне рівняння еліпса, що проходить через точку М(5; 0), якщо фокальна відстань дорівнює 6.
Розв΄ язання:
Оскільки відстань між фокусами дорівнює 6, то с= 3. За умовою точка М(5; 0) належить еліпсу, тож її координати задовольняють рівняння еліпса. Тому 
, 
.
Із рівності знаходимо 
.
Отже, шукане рівняння
.
Відповідь:
Приклад 5. Звести до канонічного вигляду рівняння 
і показати, що воно є рівнянням еліпса. Знайти координати фокусів.
Розв΄ язання:
Перепишемо дане рівняння у вигляді і поділимо обидві його частини на 3600:
.
Це рівняння еліпса. Оскільки для еліпса і 
, 
, то
, тобто с = 8. Фокуси еліпса знаходитимуться в точках F1(-8; 0), F2(8; 0).
Відповідь: Фокуси еліпса F1(-8; 0), F2(8; 0).
Приклад 6. Записати рівняння еліпса, фокусами якого є точки (0; - ) і ( 
), а велика вісь дорівнює 6.
Розв΄ язання:
Фокуси еліпса лежать на осі ОY, отже, 2b= 6, тоді b= 3.
За формулою знаходимо r wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> 
. Підставивши значення 
і 
в канонічне рівняння, маємо 
.
Відповідь: .
Приклад 7. Записати рівняння еліпса з фокусами на осі ОХ, якщо відстань між фокусами дорівнює 12, а ексцентриситет ε = 0, 6.
Розв΄ язання:
За умовою задачі F1 F2 = 2с=12, отже, с=6, ε = 
= 0, 6. Підставивши в цю рівність значення с = 6, дістанемо 
, тобто a = 10.
За формулою знайдемо 
.
Отже, шукане рівняння має вигляд
> 
.
Відповідь: > .
Г і п е р б о л а
Означення: Гіперболою називають геометричне місце точок площини, для яких модуль різниці відстаней до двох заданих точок (фокусів) є величиною сталою й меншою, ніж відстань між фокусами.
Виведемо рівняння гіперболи. Виберемо систему координат таким чином, щоб вісь ОХ проходила через фокуси F1 і F2, а вісь ОY – через середину відрізка F1 F2 перпендикулярно до нього. Тоді у вибраній системі координат фокуси мають координати: F1(-с; 0), F2(с; 0).
Візьмемо на гіперболі довільну точку М(х; y).
За означенням гіперболи відстань між фокусами 2с більша за різницю відстаней до фокусів 2а, тому 2с > 2а або а < с і маємо 
,
. (1)
Запишемо рівність (1) у координатах.
За формулою відстані між двома точками А(х1; у1; ), B (х2; у2; )
׀ АВ ׀ = 
дістанемо
, (2)
Перенесемо один корінь у праву частину й піднесемо до квадрата обидві частини рівності:
,
,
,
виконаємо спрощення:
,
,
,
поділимо ліву і праву частини рівності на 4:
,
знову піднесемо обидві частини рівності до квадрата:
,
),
розкриємо дужки
,
,
згрупуємо доданки
,
,
(3)
Оскільки за означенням гіперболи F1 F2 > ( 
, тобто 2с > 2а, то 
> 0.
Позначимо 
.
Тоді рівність (3) запишемо так:
.
Поділивши обидві частини цієї рівності на 
, дістанемо
(4)
Рівняння (4) канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі ОХ.
cпіввідношення між а, b і c: