B1(0;b), B2(0;-b) – вершини гіперболи.

Побудова гіперболи

Будуємо основний прямокутник зі сторонами 2а і 2b; проводимо прямі, що збігаються з діагоналями цього прямокутника, тобто проводимо асимптоти; потім креслимо гіперболу.

Ексцентриситет гіперболи

Означення: Ексцентриситетом гіперболи називається відношення відстані між фокусами до довжини дійсної осі.

Ексцентриситет гіперболи позначається буквою ε:

ε або ε .

Оскільки, за означенням 2а < 2с, то ексцентриситет гіперболи ε завжди є неправильним дробом, тобто ε .

Асимптоти гіперболи

Рівняння асимптот гіперболи:

.

Рівностороння гіпербола

Означення: Гіпербола називається рівносторонньою, якщо довжина її дійсної осі дорівнює довжині уявної осі, тобто 2а = 2b

Канонічне рівняння рівносторонньої гіперболи, фокуси якої лежать на осі ОХ.

або

Канонічне рівняння рівносторонньої гіперболи, фокуси якої лежать на осі ОY.

або

Для рівносторонньої гіперболи справедливе співвідношення:

, тобто .

Ексцентриситет рівносторонньої гіперболи

ε , тобто ε

Асимптоти рівносторонньої гіперболи

Рівняння асимптот для рівносторонньої гіперболи має вигляд

, тобто

асимптоти рівносторонньої гіперболи є бісектрисами координатних кутів.

П р и к л а д и р о з в ’я з у в а н н я з а д а ч

Приклад 1. З'ясувати, яку лінію визначає рівняння .

Розв΄ язання:

Поділивши обидві частини рівняння на 63, дістанемо

Порівнюючи дане рівняння з канонічним рівнянням гіперболи, зробимо висновок, що рівняння визначає гіперболу з дійсною піввіссю а = 3 та уявною піввіссю b= .

Приклад 2. Дано асимптоти гіперболи у = ± t wx: val=" Cambria Math" /> < w: i/> < w: sz w: val=" 28" /> < w: sz-cs w: val=" 28" /> < /w: rPr> < m: t> 2< /m: t> < /m: r> < /m: den> < /m: f> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> х і відстань між фокусами 2с = 10.

Записати рівняння гіперболи.

Розв΄ язання:

Із рівнянь асимптот гіперболи випливає, що , звідки а = 2b.

Користуючися рівністю , дістаємо , звідки .

Тоді .

Запишемо шукане рівняння гіперболи:

.

Відповідь:

Приклад 3 . Дано гіперболу Визначити довжину її осей і відстань між

фокусами.

Розв΄ язання:

З канонічного рівняння гіперболи маємо: , або а = 4; , або b= 3.

За cпіввідношенням між а, b і c: знаходимо с:

, звідки с= 5, а тому відстань між фокусами 2с= 10.

Приклад 4 . Знайти координати фокусів, довжини осей і ексцентриситет і рівняння асимптот гіперболи, заданої рівнянням .

Розв΄ язання:

Зведемо рівняння гіперболи до канонічного рівняння, поділивши обидві частини рівності на 400:

,

.

З цього рівняння ми бачимо, що фокуси гіперболи розташовані на осі абсцис (ОХ), запишемо , , тобто а = 5, b= 4.

За cпіввідношенням між а, b і c: знаходимо с:

, звідки с= .

Отже, фокусами гіперболи будуть точки F₁(- ; 0), F₂( ; 0);

дійсна вісь гіперболи 2 а = 10; уявна вісь 2 b= 8.

Знайдемо ексцентриситет гіперболи: ε

ε .

Заcпіввідношенням між а, b і c:

знайдемо с: , звідси с = 10.

Отже, фокусами гіперболи є точки: F₁(0; 10), F₂(0; - 10).

Ексцентриситет гіперболи обчислимо за формулою ε ,

ε .

асимптоти гіперболизнаходимо за формулою ,