Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Рівняння параболи із суміщеною вершиною
|
|
Розглянемо тепер параболу, симетричну відносно прямої, паралельної осі ОХ ( осі OY),
вершина якої міститься не у початку координат, а у довільній точці А(a; b) (у прямокутній системі координат хОу).
1. Рівняння параболи з вершиною в точці А(a; b), з віссю симетрії, паралельною осі ОХ, і вітками, напрямленими вправо (мал.5 a))
, де
параметр параболи 
- відстань від фокуса параболи до її директриси.
Якщо у параболи вітки напрямлені вправо, то її директриса розміщена від вершини
параболи - вліво (на 
одиниць).
мал.5
2. Рівняння параболи з вершиною в точці А(a; b), з віссю симетрії, паралельною осі ОХ, і вітками, напрямленими вліво (мал.5 б))
, де
параметр параболи - відстань від фокуса параболи до її директриси.
Якщо у параболи вітки напрямлені вліво, то її директриса розміщена від вершини
параболи - вправо (на одиниць).
мал.5
3. Рівняння параболи з вершиною в точці А(a; b), з віссю симетрії, паралельною осі OY, і вітками, напрямленими вгору (мал.6 а))
, де
параметр параболи - відстань від фокуса параболи до її директриси.
Якщо у параболи вітки напрямлені вгору, то її директриса розміщена від вершини
параболи - вниз (на одиниць).
мал. 6
4. Рівняння параболи з вершиною в точці А(a; b), з віссю симетрії, паралельною осі OY, і вітками, напрямленими вниз (мал.6 б))
, де
параметр параболи - відстань від фокуса параболи до її директриси.
Якщо у параболи вітки напрямлені вниз, то її директриса розміщена від вершини
параболи - вгору (на одиниць).
мал. 6
П р и к л а д и р о з в ’я з у в а н н я з а д а ч
Приклад 1. Скласти рівняння параболи з вершиною в початку координат, якщо її фокус
знаходиться в точці F ( 
.
Розв΄ язання:
Оскільки, фокус параболизнаходиться в точці F ( , то скористаємосяканонічним рівнянням параболи, симетричної відносно осі ОХ, із вершиною в початку координат і вітки якої напрямлені вправо
, p> 0.
За координатами фокуса F ( 
знайдемо p:
, звідки p= 6.
Підставивши значення p= 6 в канонічне рівняння 
, одержимо:
.
Відповідь: 
.
Приклад 2. Знайти координати фокуса, рівняння параболи з вершиною в початку
координат, якщо її рівняння директриси 
.
Розв΄ язання:
Канонічним рівнянням параболи з вершиною в початку координат є рівняння виду,
, p> 0, так як задано рівняння директриси .
Загальне рівняння директриси має вигляд 
. Підставивши значення в рівняння 
, одержимо:
, p= 8.
Канонічне рівняння параболи з вершиною в початку координат буде мати вигляд
.
Знайдемо координати фокуса F ( . Тоді маємо F ( 
, F ( 
Відповідь: 
, F ( .
Приклад 3 . Знайти координати фокуса і рівняння директриси параболи, яка задана
рівнянням 
.
Розв΄ язання:
Із даного канонічного рівняння маємо, що 
, тобто p= 4, звідки 
.
Знайдемо координати фокуса F ( і рівняння директриси 
:
F ( 
, 
.
Відповідь: координати фокуса F ( , рівняння директриси 
.
Приклад 4 . Скласти канонічне рівняння параболи з вершиною в початку координат і рівняння її директриси, якщо фокус знаходиться в точці F (
.
Розв΄ язання:
Якщо фокус параболи знаходиться в точці F (, то її канонічне рівняння маєвигляд 
, p > 0.
Координати фокуса F (
відомо, тому 
, тобто p= 6.
Отже, канонічним рівнянням параболи буде рівняння: 
. Запишемо рівняння директриси > 
, тобто, 
.
Відповідь: канонічне рівняння параболи 
,
рівняння директриси .
Приклад 5. Дано рівняння параболи 
. Скласти рівняння її
директриси.
Розв΄ язання:
Рівняння параболи нагадує рівняння параболи з вершиною в точці А(a; b), з віссю симетрії, паралельною осі ОХ, і вітками, напрямленими вправо або вліво (, або .
Знайдемо координати вершини параболи.
Для цього перетворимо задане рівняння:
, 
,
у лівій частині даного рівняння виділимо повний квадрат двочлена
,
,
,
звідки 
, 
. Тоді А(1; 2).
r wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> 
, тобто 
є рівнянням параболи з вершиною в точці А(1; 2), з віссю симетрії, паралельною осі ОХ, і вітками, напрямленими вправо.
Знайдемо 
: із рівняння видно що 
, 
.
Якщо у параболи вітки напрямлені вправо, то її директриса розміщена від вершини
параболи - вліво (на одиниць). Так як, відстань від вершини параболи до осі OY рівна 1, а від вершини до директриси рівна 5, то абсциса директриси дорівнює різниці
;
Рівняння директриси: .
Відповідь: Рівняння директриси .
Приклад 6 . Дано рівняння параболи 
. Скласти рівняння її осі та
директриси.
Розв΄ язання:
Рівняння параболи 
нагадує рівняння параболи з вершиною в точці А(a; b), з віссю симетрії, паралельною осі ОХ, і вітками, напрямленими вправо або вліво (, або .
Знайдемо координати вершини параболи.
Для цього перетворимо задане рівняння:
., 
,
у лівій частині даного рівняння виділимо повний квадрат двочлена:
,
,
,
, звідки 
, 
. Тоді А(-2; 3).
, тобто 
є рівнянням параболи з вершиною в точці А(-2; 3), з віссю симетрії, паралельною осі ОХ, і вітками, напрямленими вправо.
Вісь параболи проходить через вершину А(-2; 3), паралельно осі ОХ, томуїї рівняння осі буде мати вигляд: 
.
Знайдемо : із рівняння видно що 
, 
.
Якщо у параболи вітки напрямлені вправо, то її директриса розміщена від вершини
параболи - вліво (на одиниць).
Так як, відстань від вершини параболи до осі OY рівна (-2), а від вершини до директриси рівна 2 
то абсциса директриси буде дорівнювати (-4), тобто .
Відповідь: Рівняння директриси , рівняння осі - .
Вказані три криві мають спільне походження: всі вони є певними перерізами двопорожнинного конуса. Цей факт чудово ілюструється малюнком і вказує на джерело універсальності трьох розглянутих кривих.
Використана література:
1. Вища математика. Ч 1.За загальною редакцією П.П.Овчинникова.Київ 2003р.
2. М.В. Грисенко Математика для економістів. Навчальний посібник. Київ 2007р.
3. Н.В. Богомолов Практические занятия по математике. Москва1990г.
4. В.Т. Лисичкин Математика.Москва 1991г.
5. В.М. Лейфура Математика. Київ 2003р.
6. И.И. Математика для техникумов. Москва 1989 г.
7. Вища математика: Навчально-методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни (К.Г. Валєєв, І.О.Джалладова, О.І. Лютий та інш. – К.: КНЕУ, 1999.