Завдання РГР

Зміст

Вступ. 4

Завдання РГР.. 5

Приклади виконання завдань. 20

Література. 37

Вступ

Розрахунково-графічна робота (РГР) з “Вищої математики” має метою опанування студентом методикою аналізу і синтезу конкретних методів рішення типових задач, а також глибоке засвоєння, закріплення, поглиблення й узагальнення знань і вмінь, отриманих при вивченні розділів: «Лінійна алгебра. Елементи аналітичної геометрії», «Математичний аналіз функції однієї та декількох змінних».

Тематика РГР відповідає навчальним задачам та робочому навчальному плану предмета “Вища математика”. Завдання РГР обговорені та затверджені на засіданні кафедри “Вищої математики та компьютерного моделюваня” й узгоджена з випускаючою кафедрою.

Зміст розрахунково-графічної роботи: РГР складається з теоретичної та практичної частини і розрахунково-пояснювальної записки; робота виконується на листах формату А4, які оформляються за стандартами РГР. Час виконання РГР не перевищує 15 годин самостійної роботи студента. Розрахунок складається з двох частин. Частина 1: «Лінійна алгебра. Елементи аналітичної геометрії». Частина 2: «Математичний аналіз функції однієї та декількох змінних». У теоретичній частині та розрахунково-пояснювальній записці РГР приводяться теоретичні основи роботи та робляться розрахунки. При виконанні розрахунку студент повинен: а) вивчити теоретичний матеріал по розділах " лінійна алгебра”, “елементи аналітичної геометрії”, “математичний аналіз функції однієї та декількох змінних” в обсязі, передбаченому програмою; 6) письмово виконати теоретичні вправи, загальні для всіх студентів; в) вирішити запропоновані йому індивідуальні завдання, варіант якого відповідає номеру студента за списком у журналі; г) оформити і представити звіт відповідно до графіка виконання самостійної роботи. Захист РГР проводиться перед її керівником. Під час захисту студент повинен уміти відповідати на теоретичні питання, пояснювати рішення теоретичних вправ, завдань, уміти вирішувати аналогічні приклади.

Завдання РГР

Частина 1.

Завдання № 1. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а) методом Крамера;

б) методом матричного числення;

в) методом Гауса.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15. 16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26. 27.

28. 29. 30.

Завдання № 2. За допомогою теореми Кронекера-Капелі дослідити на сумісність систему рівнянь. У випадку додатної відповіді знайти загальне та яке-небудь часткове рішення системи.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26. 27.

28. 29. 30.

Завдання № 3. Дано координати трьох векторів: і вектор :

у деякому базисі. Потрібно:

1) обчислити модуль вектора ;

2) знайти координати вектора ;

3) знайти кут φ між векторами и ;

4) обчислити проекцію вектора на напрямок вектора ;

5) обчислити площу трикутника, побудованого на векторах і ;

6) обчислити об'єм паралелепіпеду, побудованого на векторах .

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

Завдання № 4. Дано координати вершин піраміди . Треба:

1) обчислити довжину ребра AB;

2) знайти рівняння площини грані ABC;

3) найти кут між гранями ABC та BCD;

4) скласти параметричні рівняння прямої AB;

5) скласти канонічне рівняння висоти піраміди DK, яка проведена з вершини D;

6) знайти координати точки перетину прямої DK та грані ABC;

7) знайти кут між ребрами AB та BC;

8) знайти кут між ребром AD та гранню ABC;

9) зробити креслення піраміди в системі координат.

1. А (0; -1; 3), В (2; 1; 1), С (-2; 0; 0), D (-1; 1; 0). 2. А (1; -1; 2), В (3; 1; 1), С (-1; 0; 0), D (0; 1; 0).

3. А (2; -1; 2), В (4; 1; 1), С (0; 0; 0), D (1; 1; 0). 4. А (3; -1; 2), В (5; 1; 1), С (1; 0; 0), D (2; 1; 0).

5. А (4; -1; 2), В (6; 1; 1), С (2; 0; 0), D (3; 1; 0). 6. А (-1; -1; 2), В (1; 1; 1), С (-3; 0; 0), D (-2; 1; 0).

7. А (-2; -1; 2), В (0; 1; 1), С (-4; 0; 0), D (-3; 1; 0). 8. А (-3; -1; 2), В (-1; 1; 1), С (-5; 0; 0), D (-4; 1; 0).

9. А (-4; -1; 2), В (-2; 1; 1), С (-6; 0; 0), D (-5; 1; 0). 10. А (-5; -1; 2), В (-4; 1; 1), С (-7; 0; 0), D (-6; 1; 0).

11. А (0; -1; 3), В (2; 3; -2), С (-1; 0; 4), D (2; 1; -2). 12. А (-1; -2; 3), В (0; 3; -1), С (1; 2; -4), D (-2; 0; 2).

13. А (3; 1; -3), В (-2; 0; -4), С (0; 5; 2), D (3; -1; 0). 14. А (5; 1; -2), В (1; 2; -1), С (-2; 0; 3), D (1; 0; -3).

15. А (-5; -1; 2), В (7; 0; 1), С (2; 3; 3), D (-1; 3; -2). 16. А (-6; 2; -3), В (1; -3; 1), С (2; -2; 4), D (2; -1; 3).

17. А (-3; 4; 2), В (2; 3; -1), С (5; 6; -2), D (-3; 1; 2). 18. А (-1; 2; 2), В (1; 0; 1), С (2; 4; -3), D (-1; 6; 0).

19. А (5; -3; 2), В (5; 0; -1), С (-2; -3; 4), D (1; 2; -2). 20. А (2; -1; 4), В (3; -3; -2), С (-1; 2; 0), D (2; -3; 6).

21. А (2; -1; -5), В (-1; 3; 4), С (4; -5; 1), D (0; 1; 2). 22. А (-5; 0; 2), В (2; -2; 1), С (-4; 5; -3), D (4; 2; 3).

23. А (-1; 0; -2), В (5; 3; 6), С (5; 0; -3), D (1; -3; 0). 24. А (-2; 2; 3), В (0; -4; 2), С (1; 2; -4), D (0; 1; -4).

25. А (3; 0; -2), В (-2; 1; 6), С (4; 0; 2), D (3; -1; 5). 26. А (1; -2; 0), В (-1; 6; -1), С (-2; 3; 3), D (0; 2; -4).

27. А (5; 3; 0), В (-5; 2; 1), С (0; 3; -4), D (-1; 0; 2). 28. А (-3; 1; -4), В (2; 1; 4), С (-4; 1; 2), D (3; 1; 2).

29. А (1; 2; 0), В (2; 6; 1), С (2; 1; 3), D (1; 2; 4). 30. А (2; 3; -1), В (5; 2; 0), С (1; 3; 2), D (1; 2; 2).

Завдання № 5. Дано координати вершин трикутника АВС. Потрібно:

1) обчислити довжину сторони ВС;

2) скласти рівняння сторони ВС;

3) знайти внутрішній кут трикутника при вершині В;

4) скласти рівняння висоти АК, яка проведена з вершини А;

5) знайти координати центра тяжіння однорідного трикутника (точки перетину його медіан);

6) зробити креслення у системі координат.

1. А (1; -3), В (2; 4), С (1; 5). 2. А (-1; 0), В (1; -4), С (-1; 3).

3. А (2; -4), В (-2; 5), С (-1; 6). 4. А (-3; 1), В (0; 4), С (2; -3).

5. А (0; -2), В (1; -3), С (2; 4). 6. А (-2; 3), В (-1; 0), С (1; 4).

7. А (3; 0), В (2; -5), С (1; 3). 8. А (3; 1), В (-2; 3), С (1; -2).

9. А (4; -1), В (0; -2), С (-1; 2). 10. А (4; 0), В (2; -1), С (3; -1).

11. А (1; -2), В (1; 4), С (1; 6). 12. А (-2; 0), В (1; -2), С (-3; 3).

13. А (1; -4), В (-3; 5), С (-1; 4). 14. А (-2; 1), В (1; 4), С (0; -3).

15. А (0; -1), В (3; -3), С (2; 4). 16. А (2; 3), В (-4; 0), С (0; 4).

17. А (2; 0), В (2; -1), С (0; 3). 18. А (0; 1), В (-1; 3), С (2; -2).

19. А (2; -1), В (0; -1), С (0; 2). 20. А (3; 0), В (0; -1), С (2; -1).

21. А (0; -3), В (2; 0), С (1; 2). 22. А (-2; 0), В (1; -3), С (-1; 1).

23. А (2; -1), В (-2; 0), С (-1; 4). 24. А (-1; 1), В (0; 3), С (2; 0).

25. А (0; -1), В (1; -2), С (2; 0). 26. А (-2; 4), В (-3; 0), С (0; 4).

27. А (4; 0), В (2; -1), С (0; 3). 28. А (0; 1), В (-2; 4), С (1; -3).

29. А (0; -1), В (3; -2), С (-1; 1). 30. А (3; 0), В (2; -3), С (0; -1).

Частина 2.

Завдання № 6. Обчислити границі функцій без використання правила Лопіталя:

1. а) ; б) ;

в) ; г) .

2. а) ; б) ;

в) ; г) .

3. а) ; б) ;

в) ; г) .

4. а) ; б) ;

в) ; г) .

5. а) ; б) ;

в) ; г) .

6. а) ; б) ;

в) ; г) .

7. а) ; б) ;

в) ; г) .

8. а) ; б) ;

в) ; г) .

9. а) ; б) ;

в) ; г) .

10. а) ; б) ;

в) ; г) .

11. а) ; б) ;

в) ; г) .

12. а) ; б) ;

в) ; г) .

13. а) ; б) ;

в) ; г) .

14. а) ; б) ;

в) ; г) .

15. а) ; б) ;

в) ; г) .

16. а) ; б) ;

в) ; г) .

17. а) ; б) ;

в) ; г) .

18. а) ; б) ;

в) ; г) .

19. а) ; б) ;

в) ; г) .

20. а) ; б) ;

в) ; г) .

21. а) ; b) ;

в) ; г) .

22. а) ; b) ;

в) ; г) .

23. а) ; b) ;

в) ; г) .

24. а) ; b) ;

в) ; г) .

25. а) ; b) ;

в) ; г) .

26. а) ; b) ;

в) ; г) .

27. а) ; b) ;

в) ; г) .

28. а) ; b) ;

в) ; г) .

29. а) ; b) ;

в) ; г) .

30. а) ; b) ;

в) ; г) .

Завдання № 7. Обчислити границі функцій з використанням правила Лопіталя:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Завдання № 8. Знайти похідні даних функцій.

1. а) ; б) ;

в) .

2. а) ; б) ;

в) .

3. а) ; б) ;

в) .

4. а) ; б) ;

в) .

5. а) ; б) ;

в) .

6. а) ; б) ;

в) .

7. а) ; б) ;

в) .

8. а) ; б) ;

в) .

9. а) ; б) ;

в) .

10. а) ; б) ;

в) .

11. а) ; б) ;

в) .

12. а) ; б) ;

в) .

13. а) ; б) ;

в) .

14. а) ; б) ;

в) .

15. а) ; б) ;

в) .

16. а) ; б) ;

в) .

17. а) ; б) ;

в) .

18. а) ; б) ;

в) .

19. а) ; б) ;

в) .

20. а) ; б) ;

в) .

21. а) ; б) ;

в) .

22. а) ; б) ;

в) .

23. а) ; б) ;

в) .

24. а) ; б) ;

в) .

25. а) ; б) ;

в) .

26. а) ; б) ;

в) .

27. а) ; б) ;

в) .

28. а) ; б) ;

в) .

29. а) ; б) ;

в) .

30. а) ; б) ;

в) .

Завдання № 9. Провести повне дослідження функції та побудувати її графік.

1. а) ; б) . 2. а) ; б) .

3. а) ; б) . 4. а) ; б) .

5. а) ; б) . 6. а) ; б) .

7. а) ; б) . 8. а) ; б) .

9.а) ; б) . 10.а) ; б) .

11. а) ; б) . 12. а) ; б) .

13. а) ; б) . 14. а) ; б) .

15. а) ; б) . 16. а) ; б) .

17. а) ; б) . 18. а) ; б) .

19. а) ; б) . 20. а) ; б) .

21. а) ; б) . 22. а) ; б) .

23. а) ; б) . 24. а) ; б) .

25. а) ; б) . 26. а) ; б) .

27. а) ; б) . 28. а) ; б) .

29. а) ; б) . 30. а) ; б) .

Завдання № 10. Знайти частинні похідні функції .

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. . 18. .

19. 20. . 21. .

22. 23. . 24.

25. . 26. 27. .

28. 29. . 30.

Завдання № 11. Знайти екстремум функції .

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. . 26. .

27. . 28. .

29. . 30. .