Завдання № 5.

Приклад. Дано координати вершин трикутника АВС: А (–3; –1), В (4; 6), С (8; –2).

Потрібно:

1) Обчислити довжину сторони ВС;

2) скласти рівняння сторони ВС;

3) знайти внутрішній кут трикутника при вершині В;

4) скласти рівняння висоти АК, яка проведена з вершини А;

5) знайти координати центра тяжіння однорідного трикутника (точки перетину його медіан);

6) зробити креслення у системі координат.

Розв’язання.

1) Обчислимо довжину сторони ВС за формулою:

| BС |= =

2) Складемо рівняння сторони ВС, застосовуючи формулу:

y = –2 x + 14 – рівняння ВС.

3) Внутрішній кут трикутника при вершині В знайдемо як кут між прямими ВА і ВС. Для цього спочатку обчислимо кутовий коефіцієнт прямої ВА за формулою:

та візьмемо з рівняння прямої ВС кутовий коефіцієнт прямої ВС: .

З розташування точок A, B, C на координатній площині видно, що кут В у трикутнику ABC – гострий, тому обчислимо

.

4) Для отримання рівняння висоти АK, проведеної з вершини А, застосовуємо рівняння пучка прямих та умову перпендикулярності прямих. Спочатку обчислимо кутовий коефіцієнт прямої АK. Так як , то .

Рівняння прямої AK отримаємо за формулою:

у – у_А = k_AK (x – x _A) у – (–1) = (x – (–3))

x –2 y + 1 = 0 – рівняння AK.

5) Для визначення координат центра тяжіння трикутника застосовуємо властивість точки перетину його медіан: якщо AМ – медіана трикутника і P – точка перетину його медіан, то P розподіляє AМ у відношенні 2: 1, починаючи від точки А, тобто .

Основа медіани AМ – точка М є серединою відрізка ВС. Знайдемо координати точки М за формулами:

М (6; 2).

Тепер, коли координати кінців відрізка AМ відомі, знайдемо координати точки P, яка розподіляє AМ у відношенні = 2, починаючи від точки А, за формулами ділення відрізка у заданому відношенні:

P (3; 1) – центр тяжіння трикутника АВС.

6) Побудуємо креслення до прикладу у системі координат ХОY (рис.). Отримані при рішенні задачі результати не суперечать кресленню.

Відповіді:

1) довжина сторони | BС | = ;

2) рівняння сторони ВС: y = –2 x + 14;

3) кут при вершині В: ;

4) рівняння висоти АK: x –2 y + 1 = 0;

5) координати центра тяжінн трикутника P (3; 1);

6) креслення на рис.