Частина 2.

Завдання № 6. Обчислити границі функцій без використання правила Лопіталя:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Розв’язання.

а) підстановка граничного значення аргументу приводе до невизначеності виду .

Для усунення цієї невизначеності розкладемо чисельник та знаменник дробу на множники та скоротимо дріб на множник . Таке скорочення можливо, так як множник відмінний від нуля при :

б) при вираз дає невизначеність виду . Для її усунення помножимо та поділимо цей вираз на :

в) позначимо . Тоді та при . Застосовуємо властивості границь та формулу першої визначної границі , маємо:

г) при вираз є невизначеністю виду . Для усунення цієї невизначеності зобразимо основу степені у вигляді суми 1 та нескінченно малої при величини і застосуємо формулу другої визначної границі:

.

Тоді маємо:

.

Нехай . Тоді і при . Перейдемо до змінної у, отримаємо:

.

Завдання № 7. Обчислити границі функцій з використанням правила Лопіталя.

Знайти: .

Розв’язання.

=[Застосовуємо правило Лопіталя: ]= .

Завдання № 8. Знайти похідні даних функцій.