Модель при наличии страхового запаса

Предположим, что спрос на продукцию является стационарной случайной величиной с математическим ожиданием и конечной дисперсией . Для бесперебойной работы предприятия, при случайных колебаниях спроса, предприятию необходим некоторый запас продукции, который называют страховым запасом и обозначают . Вероятность того, что спрос не превысит величины , называют коэффициентом надежности и обозначают . Как правило, коэффициент надежности равен 0, 9; 0, 95 или 0, 99. Вероятность противоположного события, состоящего в том, что спрос превысит величину , называют коэффициентом риска , т. е. . Если известна плотность распределения вероятностей спроса , то коэффициент надежности можно вычислить по формуле:

а коэффициент риска по формуле:

Зная закон распределения спроса и коэффициент надежности, оптимальный страховой запас можно найти из равенства:

(12.18)

воспользовавшись соответствующей таблицей закона распределения.

При наличии страхового запаса издержки работы системы в единицу времени описываются функцией

,

где - средняя арифметическая спроса. Вычислив производную , приравняв ее нулю, находим минимальный объем партии поставки: .

Тогда минимальные издержки составят: .

Рассмотрим, как определяется страховой запас, в зависимости от закона распределения спроса.

1. Пусть спрос на продукцию подчиняется нормальному закону распределения. Функция плотности распределения вероятностей нормального закона имеет вид

,

где - средняя арифметическая спроса, которая является оценкой математического ожидания; - среднее статистическое квадратическое отклонение спроса; - частота, с которой встречается величина спроса ; - количество наблюдений.

Выполнив замену в функции и воспользовавшись центральной предельной теоремой, преобразуем плотность нормального закона к виду . Функция - это плотность распределения центрированной и нормированной случайной величины, имеющей нормальное распределение. Для того чтобы найти оптимальный страховой запас при нормальном законе распределения нужно по заданному коэффициенту риска (или по коэффициенту надежности ) найти значение центрированной и нормированной случайной величины () из равенств

или .

Поскольку , то

, где - функция Лапласа. Зная коэффициент риска (или коэффициент надежности ), по таблице функции Лапласа находим . Страховой запас определяется таким образом, чтобы случайный спрос, не превосходил суммы среднего значения спроса и страхового запаса с вероятностью , т. е. . Учитывая, что , получим формулу для определения страхового запаса при нормальном законе распределения: или . Из этого неравенства находим минимальное значение страхового запаса: . Минимальные издержки при нормальном законе распределения определяются по формуле:

.

2. Пусть спрос описывается показательным законом распределения с плотностью распределения вероятностей

.

Оптимальный страховой запас находим из равенства

т. е.

Поскольку оценка параметра , то получим равенство , из которого последовательно находим:

Пример 12.4. На кондитерской фабрике для упаковки готовой продукции используется упаковочная бумага. Затраты на организацию заказа составляют 50 ден.ед. Ежедневная потребность в упаковочной бумаге в течение года приведена в таблице

Потребность в упаковочной бумаге, , кг	[0, 100)	[100, 200)	[200, 300)	[300, 400)	[400, 500)	[500, 600)	[600, 700)	[700, 800)	[800, 900)	[900, 1000)
Частота,

Определить величину страхового запаса упаковочной бумаги, гарантирующего бесперебойное снабжение с надежностью и минимальные издержки обеспечения упаковочной бумагой в течение года при наличии страхового запаса, если стоимость хранения 1кг упаковочной бумаги составляет 10 ден. ед. в год.

Решение. Вначале определим закон распределения спроса на упаковочную бумагу. Для этого построим гистограмму. На оси О отложим интервалы спроса и на каждом интервале построим прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте спроса (рисунок 12.2).

По виду гистограммы можно сделать предположение о нормальном законе распределении спроса на упаковочную бумагу. Проверим гипотезу о том, что распределение спроса на упаковочную бумагу подчиняется нормальному закону распределения по следующей схеме.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Рисунок 12.2

1. Сформулируем основную гипотезу - спрос подчиняется нормальному закону распределения и альтернативную гипотезу - спрос не подчиняется нормальному закону распределения.

2. Зададим уровень значимости .

3. Объем выборки задан

4. Для проверки гипотезы воспользуемся критерием хи - квадрат:

.

По таблице критических значений - распределения по уровню значимости и числу степеней свободы находим квантиль . Тогда интервал определяет область принятия гипотезы, а полуинтервал - критическую область.

5. Вычислим числовые характеристики выборки и , которые являются оценками математического ожидания и среднего квадратического отклонения нормального закона распределения. Среднее арифметическое равно:

Среднее статистическое квадратическое отклонение:

Тогда функция нормального закона распределения будет иметь вид:

. Теоретические частоты вычислим по формуле:

, при этом наименьшее значение дроби заменяем на «», а наибольшее – на «».

=270(0, 0375-0)= =10, 125; и т. д.

Вычисление значения по эмпирическим данным сведем в таблицу 12.4.

Таблица 12.4

Потребность в упаковочной бумаге, (кг)	Частоты,
[0; 100)		10, 125	34, 516	3, 4430
[100; 200)		15, 093	24, 0787	1, 5952
[200; 300)		27, 405	0, 3540	0, 0129
[300; 400)		41, 418	11, 6824	0, 2821
[400; 500)		48, 492	2, 2741	0, 0469
[500; 600)		47, 925	62, 8056	1, 3105
[600; 700)		36, 693	32, 4103	0, 8833
[700; 800)		23, 733	1, 6053	0, 0676
[800; 900)		12, 042	8, 7498	0, 7266
[900; 1000]		7, 074	0, 0055	0, 0008
				8, 3689

По таблице критических значений - распределения по уровню значимости и числу степеней свободы находим . Так как 8, 3689 меньше , то оснований для отклонения нулевой гипотезы нет.

Итак, спрос на упаковочную бумагу подчиняется нормальному закону распределения, и страховой запас определим по формуле: , где находим по таблице значений функции . Минимальные издержки при наличии страхового запаса равны:

(ден.ед.)