Новая математика для старой науки

Сорок лет назад, когда я учился на Физфаке МГУ, нас учили, что характер движения определяется типом уравнения, что интерес представляют только устойчивые траектории и что теория функций комплексного переменного предназначена для изучения наиболее гладких процессов, тогда как функции действительного переменного могут быть устроены сколь угодно рвано. Все четыре тезиса были тогда давно уже опровергнуты (притом – в рамках классической науки, а не в квантовой или релятивизме), но на преподавании и на ходячих поверьях это не отражалось нисколько. В среде физиков царило убеждение, что " мир устроен просто". Не знаю, насколько ныне изменилось преподавание, но в научном сообществе теперь образовались островки специалистов, знающих, что взаимодействие мира природы с миром математики устроено куда как интереснее.

Просто устроен не мир, а та физика, которая избегает изучать сложное, та, которую преподают повсюду, чью познавательную установку прекрасно сформулировал Эуген Вигнер: " Мир очень сложен, и человеческий разум явно не в состоянии полностью постичь его. Именно поэтому человек придумал искусственный прием – в сложной природе мира винить то, что принято называть случайным, – и таким образом смог выделить область, которую можно описать с помощью простых закономерностей. Сложности получили название начальных условий, а то, что абстрагировано от случайного, – законов природы" [Вигнер, 1971, c. 9]. Итак, сложное отождествлено со случайным, а случайное вынесено за рамки анализа. Можно назвать это случайностью по Вигнеру.

Но есть и другая физика – та, где сложное является как раз объектом анализа [Соколов, 1990]. В ней давно известно, что замена дискретных переменных непрерывными может радикально обеднять поведение системы, что уравнение диффузии может, при достаточно сложных начальных условиях, иметь решение в виде бегущей волны; что неустойчивое столь же обычно и важно, как устойчивое; что гладкие функции (обычные решения дифференциальных уравнений) преобладают в литературе лишь по традиции. Последним пунктом и займемся.

Дальнейшее, до конца следующего параграфа, в основном изложено по книге [Пайтген, Рихтер, 1993]. Вот сновные для нашей темы ее тезисы: " Таким образом, и детерминизм Лапласане может быть абсолютным и вопрос о случайности и свободе вновь открыт! " (с. 159) и " дискретизация явно безобидной системы дифференциальных уравнений привела к невообразимо богатому и сложному поведению" (с. 107)

Таких новшеств, как динамический хаос, вполне хватило бы, чтобы физика последней трети XX века погрузилась в совсем новую математику, переворачивающую все традиционные представления. Но с ним оказался тесно связан еще один тип математического хаоса, итерационный. Если дифференциальные уравнения дают гладкие траектории, которые, запутываясь, порождают беспорядочность, то итерационные, наоборот, в ходе вроде бы беспорядочных скачков заполняют точками области, многие из которых оказываются очень красивыми узорами. Красота мира дифференциальных уравнений, которой ученые наслаждались 300 лет, бледнеет перед красотой мира дискретных итераций. Более того, она заставляет нас пересмотреть соотношение науки и искусства, закона и случая, рационального расчета и свободного творчества.

Еще около 1915 года французские математики Гастон Жюлиаи Пьер Фатустали изучать поведение на комплексной плоскости тех преобразований, какие до того исследовались лишь на вещественной оси. Поскольку квадрат мнимой единицы есть единица вещественная, то самые простые итерационные преобразования ведут себя фантастически сложно. Например, таково преобразование

(7)

где переменная z = x + y i и постоянная c = a + b i комплексны. В вещественной области это преобразование выглядело неинтересным – его бросающиеся в глаза свойства сводились к тому, что при малых (x ₀, a) точки x_n группируются около нуля, при больших уходят на бесконечность, а в двух пограничных точках остаются на месте(*). Зато в комплексной области творятся чудеса.

Прежде всего, пограничная область оказывается вовсе не окружностью, как можно было ожидать, а бесконечно изломанной кривой (" под лупой выглядит столь же изломанной, как и без нее"). Множество J точек, ограниченное этой кривой, называется множеством Жюлиа. Если z ₀ лежит в его пределах, то z_n никогда не покинет J, а если вне, то уйдет на бесконечность. Бесконечную изломанность можно описать как самоподобие: сменив лупу на микроскоп и безгранично увеличивая силу его увеличения, мы не увидим изменения характера кривой. Самоподобные множества были известны и до Жюлиа, но не привлекали внимания до 1970-х годов, когда компьютерная графика сделала самоподобие наглядным.

Самоподобие — одна из форм симметрии. Манфред Шрёдер, германо-американский физик и популяризатор, пишет: " Среди всех симметрий, пышным цветом расцветающих в Саду Инвариантности, лишь один побег до недавнего времени не был взлелеян – буквально вездесущая инвариантность при изменении размеров, называемая самоподобием " [Шрёдер, 2001, c. 17] и в качестве наиболее ярких примеров называет множества Жюлиаи множество Кантора(о нем мы сейчас узнаем). Насчет единственности он не вполне прав: напомню хотя бы реализационную симметрию, рассмотренную в п. 4-1 (этот " побег" тоже совсем " не взлелеян"), – но акцент на самоподобии как на виде симметрии очень важен.

В 1975 г. математик Бенуа Мандельброт(родился в Польше, учился у Жюлиаво Франции, прославился в США) ввел понятие фрактала, призванное формализовать представление о самоподобии. Попробуем описать его.

Самым простым примером фрактала служит множество Кантора, которое строится так. Разделим отрезок [0, 1] на три равных части и удалим среднюю треть, затем разделим так же и первую, и третью трети, удалив их середины; то же проделаем с получившимися четырьмя отрезками и т.д. (рис. 7). На n-ом шагу процесса получим 2ⁿ отрезков, т.е. после бесконечного числа шагов будем иметь " пыль Кантора" – бесконечное количество бесконечно коротких отрезков (но не точек — разница стала ясна лишь с появлением нестандартного анализа(*)). Легко видеть, что суммарная длина этих бесконечно коротких отрезков меньше любого положительного числа (до появления нестандартного анализа говорили, что она равна нулю). Множество этих отрезков и есть множество Кантора.

Этот фрактал самоподобен: рисунок одинаков для любой стадии процесса – убрав с него цифры, невозможно сказать, какая часть процесса изображена, и данное свойство оказывается гораздо более общим, чем строгое самоподобие. Таковы фотография следа молнии, береговая линия на карте, рисунок кровеносной системы и т.п. В этих примерах малый участок устроен столь же сложно, что и вся картина.

Построение математического фрактала – процедура бесконечная, тогда как всякая картина реального мира допускает лишь ограниченное число изменений масштаба: повышая детальность карты, мы в конце концов увидим отдельные камни и кочки, а разглядывая капилляр в сильный микроскоп – отдельные клетки. О возможности описывать реальные объекты фракталами можно сказать то же, что о возможности описывать суммы интегралами, но трудности встают противоположные – см. ниже, п. 3.

Главное свойство фракталов – дробная размерность, тогда как самоподобие может, говоря строго, и не наблюдаться. Глядя на карту береговой линии (удобнее – норвежского или таймырского фьорда, хотя свойство всеобще и открыто при анализе береговой линии Англии), мы не можем по характеру изломов определить, какого масштаба карта – качественно линия одинакова; но говорить о точном самоподобии нельзя. Зато можно убедиться, что длина линии неограниченно растет с ростом детальности карты (в километрах местности, а не только в сантиметрах карты). Кривая как бы заполняет некоторую часть (но не некоторые области) плоскости, что и формализуется понятием дробной (здесь – между 1 и 2) размерности.

Сам Мандельбротзатруднился дать фракталу определение, сказав лишь: " Это понятие, как и хорошее вино, требует выдержки" [Пайтген, Рихтер, 1993, c. 137]. В самом деле: фрактал интересен двумя своими свойствами – самоподобной нелинейностью и дробной размерностью, но ни одно не годится в качестве общего определения, а если требовать их выполнения совместно, то окажутся вне рассмотрения многие интересные объекты, в том числе случайностные. Насколько знаю, за четверть века ситуация не прояснилась, и вместо определения фрактала бытуют приблизительные описания. Например: " Мандельбротопределил понятие фрактала как структуру, состоящую из частей, которые в каком-то смысле подобны целому" [Иванова и др., 1994, c. 33].

Иногда размерность кладут в основу определения фрактала [Хайтун, 1999, c. 249], но нам будут интересны и самоподобные структуры с обычной размерностью (см. ниже, п. 3). Иногда отсутствие строгого самоподобия обходят, вводя понятие статистического самоподобия, а отсутствие бесконечной повторяемости (невозможность безгранично менять масштаб) – вводя понятие предфрактала [Иванова и др., 1994, c. 42, 35].

Так или иначе, «Фракталы становятся удобными моделями, чем-то вроде интегрируемых задач классической механики, для описания процессов в средах, ранее считавшихся неупорядоченными» (Ю.А. Данилов[Синергетическая..., 2000, c. 190]). Мы этим будем пользоваться, а за точным определением гнаться не будем.