Познавательные модели случайности

С позиции нулевой ПМ случай не отличался от судьбы, и потому вопросы об исчислении случайного и о различии типов случайности не вставали. Кости с очевидной несимметричностью рассматривались как симметричные – в том смысле, что никто не ставил вопроса о сравнительно благоприятности падения на ту или иную грань. Этому способствовало отношение к исходу бросания не как к случайному, а как к акту судьбы, поскольку одна и та же кость могла использоваться и для игры, и для гадания, " причем каждый результат метания имел особое значение" [Цейтен, 1938, c. 180]. О старинных костях см. [Пятницын, 1976].

В рамках первой ПМ была поставлена и к началу XVIII века решена задача исчисления всех возможных исходов серии опытов типа бросаний кости или монеты. Родилось априорное понимание вероятности как отношения числа благоприятных исходов к числу всех исходов, причем в согласии с духом эпохи (господство первой ПМ) исчисление такой вероятности понималось как нахождение шифра (см. п. 2-3). С тех пор и до наших дней в ТВ царит первая (знаковая) ПМ.

В рамках второй ПМ случайное (точнее, вероятностное) сперва понималось только как скрещение независимых путей. Лишь сто лет назад Пуанкаре, исследовав вращение рулетки, дал начало механическому подходу к ТВ, о чем мы говорили в главе 4. Главным достижением второй ПМ в алеатике на сегодня является теория динамического хаоса.

Она хорошо резюмируется (в интересующем нас смысле) словами: " Чем движение неустойчивее, тем устойчивее проявляются в нем статистические закономерности" [Синай, 1981, с. 80]. Естествен и обратный ход мысли – чем ближе неустойчивое движение к границе устойчивости, тем менее устойчивы статистические законы. Ход этот, насколько знаю, математиками пока не сделан. Для этого нужен иной взгляд на мир, иные ПМ.

Что касается третьей ПМ, то ее фактически применяют статистики; их исходным понятием является не вероятность, а среднее (прежде всего – относительная частота), но формализм МС остается основанным на ТВ. Руководства по ТВ обычно лишь упоминают феномен частоты в предисловиях, после чего неявным образом отождествляют вероятность-частоту с вероятностью-мерой, чем по сути и завершается обоснование ТВ. (Подробнее см. ниже, п. 6.)

Чисто статистическое обоснование ТВ хотел дать Мизес. Он попытался определить вероятность как предел частоты в нерегулярной серии исходов. Отрицаемое до сих пор в курсах ТВ, такое понимание вероятности, тем не менее, царит у прикладников. Давид Рюэльпишет, что частотное понимание есть " операциональное определение" всякой (!) вероятности [Ruelle, 1991, c. 28]. Престижое руководство даже заявляет: " В данных томах мы приняли частотную точку зрения" [Kendall, 1991, c. 1197], хотя по всей книге вероятность исчисляется как мера. Панацею видит в подходе Мизесаи брошюра Ю.И. Алимова[1980]. Всё это никак не обосновано и, по-моему, является лишь следствием господства третьей ПМ в научном сознании общества.

Рюэль– один из авторов теории динамического хаоса и термина " странный аттрактор"; он же – один из немногих, кто пишет сразу и об этой теории, и об алгоритмическом подходе в одной книге. Поскольку алгоритм – понятие системное, то тут неявно выступает четвертая ПМ, проясняющая суть третьей. Но в учебниках ТВ почти никогда нет и более старых, вполне завершенных и явных системных пониманий случайности. Мне известен лишь один учебник, выводящий нормальное (гауссово) распределение из соображений симметрии и упоминающий его экстремальное свойство – максимум энтропии [Уиттл, 1982, c. 199, 270]. Мы вернемся к этому вопросу в следующем параграфе.

Именно в отказе Мизесаот рассмотрения какой бы то ни было симметрии видится мне его главная ошибка, оттолкнувшая от него математиков (см. п. 4-6). Ведь нерегулярность, которой он пытался дать определение, по сути включает симметрию – ту самую, в силу которой последовательность знаков почти всякого двоичного числа равносильна бесконечной серии бросаний симметричной монеты.

Далее, четвертая ПМ способна объяснить не только вероятностную, но и более сложную случайность: как мы видели в главе 4 и увидим далее, случайные события, порождаемые в системах с нежёсткими связями, способны образовывать распределения частот, для которых не имеет места ЗБЧ, а с тем теряет смысл и вся стандартная идеология ТВ. Тем самым, именно с четвертой ПМ алеатика начинает демонстрировать, что она много шире, чем ТВ.

О роли пятой и шестой ПМ в алеатике станет ясно в главах 6 и 7, а здесь только вновь процитирую Уиттла. Он полагал, что ТВ изучает " естественное разнообразие" (добавлю – а не только вычисляет по одним вероятностям другие) и что в ТВ идет спор, нужно ли ей внешнее обоснование или " теория может саморазвиваться". Он был уверен: " Ни одну из экстремальных точек зрения нельзя, вероятно, считать правильной, ибо как поиск модели, основанной на внутренних соображениях, так и поиск физической модели являются мощными орудиями исследования, и ни одним из них не следует пренебрегать" [Уиттл, 1982, c. 8–9]. А это – диатропическая позиция.

В главе 9 будет очерчена роль новых ПМ (4, 5 и, в порядке прогноза, 6) в понимании случайности различными науками. Пока же нам надо убедиться в том, что господство определенной ПМ в научном сообществе существенно влияет на ход научного познания и на его результаты.

5-5. Системная ПМ и экстремальность
нормального распределения

Удивительно: самый общий феномен, используемый в ТВ, – нормальный закон – имеет весьма частное обоснование, оправданное лишь историей вопроса. Как уже сказано в главе 3, Гауссосознал значение распределения, получившего его имя, ища всего лишь удобный способ обработки данных, содержащих ошибки наблюдения. Им был при этом использован метод наименьших квадратов, почти одновременно найденный тремя математиками (исторический обзор см. [Merriman, 1877]; обзор российских работ, содержащий однако и ссылки на первооткрывателей, см. [Лысенко, 2000]). Вне зависимости от того, был ли он найден ими самостоятельно, очевидно, что он был навеян временем; поэтому, полагаю, он и стал основой ТВ. Мировоззренческий характер сто лет назад придал данному методу Пуанкаре[1999] – он добавил к идее ошибок опыта идею суммирования независимых малых величин. Все это относилось к третьей ПМ.

Что касается четвертой, системной ПМ, то ее вклад связан с пониманием экстремального характера нормального распределения. Для него известна простая экстремальная трактовка: оно обладает максимальной энтропией при наличии конечной дисперсии. Точнее, ставится задача: найти распределение, плотность f(х) которого удовлетворяет условию (пределы интегрирования опущены)

max (3)

при заданной дисперсии

ò х f(x)dx = D > 0 (4)

и при условии нормировки

ò f(х)dх = 1. (5)

Решение легко получить методом множителей Лагранжав виде

f(x) = u exp(wx²), (6)

где константы u и w надо найти. Если плотность отличается от нуля только на конечном отрезке [-b, b], то максимум (3) достигается для D=b²/3 при w=0, т.е. мы получаем равномерное распределение. Это и понятно: равновероятные значения означают максимум неупорядоченности случайной величины х, что и трактуется обычно как максимум ее энтропии.

Проблема однако более глубока: при иных значениях D условие (4) не допускает решения w=0, а при D> b решения нет вовсе. Общий вид решения имеет при w< 0 вид гауссоиды, только при конечных b она урезана справа и слева, а при бесконечном b принимает стандартный вид гауссоиды, идущей влево и вправо на бесконечность.

Если понимать энтропию как меру неупорядоченности (что само нуждается в обосновании, которого, насколько знаю, пока никто не дал(*)), то данный результат можно толковать для бесконечного b таким образом: нормально распределено то, что обладает максимальной неупорядоченностью, при какой возможна еще устойчивость частот [Чайковский, 1988, с. 93].

Если же b конечно, то задача оказывается интереснее. При малых дисперсиях 0< D< b²/3 (т.е. при w< 0) имеем урезанную гауссоиду, которая с уменьшением D стягивается к середине отрезка [–b, b], т.е. случайность исчезает (переходит в определенность). При D=b²/3 искомая плотность становится равномерной (w=0), а при b²/3< D< b² (т.е. при w> 0) мы получим плотность в форме кривой, продавленной в середине (рис. 6). С ростом D продавленная кривая прижимается книзу в середине и растет около точек х= –b, х=b, причем S®ln2 при D®b², т.е. в пределе реализуется дискретная случайность типа бросания монеты. Тем самым, для конечного интервала равномерное распределение есть непрерывный, а бросание монеты – дискретный аналоги нормального распределения.

Если же дисперсия превышает b², то решения у экстремальной задачи нет, и это можно истолковать (напомню, что рассуждения весьма нестроги) как утерю устойчивости частоты с ростом беспорядочности случайной величины. Отсюда и двинемся.

Поскольку нас интересуют распределения как с конечными дисперсиями (устойчивые частоты), так и с бесконечными, естественно попробовать заменить (4) на такое же условие для математического ожидания. Однако выхода в мир иных случайностей тут нет: получается простое или двустороннее экспоненциальное распределение, имеющее конечную дисперсию. Его плотность имеет вид

f(x) = a exp(--ax), где х > 0, или f(x) = (a/2) exp(—a|x|),

причем а> 0. Его энтропия, как легко видеть, меньше гауссовой; это показывает, что варьированием (3) найден был именно максимум.

Распределение с бесконечной дисперсией можно получить, заменив условие (4) на какое-то другое. Например, допустив, что задан интеграл величины f(x)ln(1+x), получим гиперболическое распределение (о них пойдет речь в гл. 7). Можно попробовать иначе – ввести функционал, более сложный, чем (3). Однако разумного объяснения смысла таких процедур мне не известно, и подбор вида функционала под желаемое распределение кажется мне бесперспективным. В п. 9-4.1 мы попробуем другой путь.

Если устремить b к бесконечности, то условие (5) выполнимо только при w< 0, так что задача максимизации не имеет решения в классе кривых (6). Это не значит, разумеется, что решения нет вообще, – ведь задача (3) – (5) вырожденна: функционалы не содержат производных, вследствие чего варьирование дает алгебраические уравнения вместо дифференциальных, и класс возможных кривых крайне узок. Вопрос расширения класса рассматриваемых случайностей обычно выпадает из круга интересов тех, кто мыслит в рамках системной ПМ (см., впрочем, важное замечание о двойственности экспоненциального распределения и распределения Коши[Леви, 1972, c. 172]), но находится в центре внимания, если встать на позицию пятой, диатропической ПМ. Мы займемся этим в главах 7 и 8.