Аксиома эквивалентности и пределы ее действия

Можно сказать, что в основе ТВ лежит еще одна аксиома, никем не формулируемая, но всеми принимаемая: вероятность-мера фактически отождествляется с вероятностью-частотой (аксиома эквивалентности). Это похоже на ситуацию с понятием массы в физике, где гравитационная масса отождествляется с инерционной. Но эквивалентность масс нигде, насколько мне известно, не нарушается, тогда как эквивалентность вероятностей имеет вполне реальные границы – о ней есть смысл говорить только там, где частоты устойчивы.

Что же означает само слово " вероятность" в задачах, где устойчивость частот не вводится, хотя и предполагается? Вообще в ТВ оно означает нормированную меру, т.е. является понятием теории функций действительного переменного, но не какой бы то ни было теории случайности. Со случайностью ее связывает формально лишь условие независимости [Колмогоров, 1998], а фактически – упомянутая аксиома эквивалентности. Она-то, по-моему, и является на сегодня той " аксиомой вероятности", на потребность в которой указывал Дж. Литтлвуд(см. Введение).

Феномен устойчивости частот настолько распространен в природе и обществе, что неустойчивые частоты можно было столетиями не замечать, как и делают до сих пор те математики, которые выбирают ТВ в качестве профессии. С их точки зрения, насколько я ее понимаю, устойчивость частот лежит в основе мироустройства; тогда естественно желание еще и еще расширять осознанную часть этого мира, а оказавшись все-таки вне его, стараться описать новый мир в понятиях старого.

Что это за старый мир? Мне представляется, что это – мир, понимаемый в рамках третьей ПМ, мир, в котором принято обращаться с вероятностями вместо реальных частот и со средними значениями случайных величин вместо самих этих величин. Такая замена может приводить к потере самой сути дела. Во-первых, упускается из виду, что реально взаимодействуют не средние, а сами единичные объекты в их разнообразии. Если они хоть чуть сложнее, чем объекты статистической физики, то траектории средних величин, даваемые решением дифференциальных уравнений, ничему в природе, как правило, не соответствуют. Во-вторых, игнорируются распределения неустойчивых частот, хотя они вполне реальны в практике.

Четвертая и пятая ПМ оперируют с более сложными и менее регулярными случайностями, чем принятые в ТВ. Я уже старался показать это в главах 3 и 4 книги [Чайковский, 1990], а здесь скажу лишь, что такие случайности обычно возникают в системах с нежесткими связями, где типичны распределения частот с бесконечными (точнее, с неограниченно растущими) дисперсиями; чаще всего плотности этих распределений монотонно убывают и довольно хорошо выражаются гиперболами, отчего сами распределения известны как гиперболические. Об этом много написано (например: [Петров, Яблонский, 1980]), но без понятия ПМ трудно уяснить, что речь идет не о каких-то экзотических вариантах статистики, но о корпусе фактов и идей, требующем нового мировоззрения – системного. Мы обратимся к таким распределениям в главах 7, 8 и 9.

Алгоритмическая ТВ явилась кульминацией успехов третьей модели, но из самого ее названия видно, что для уяснения статистической сути вероятности потребовалось взглянуть на третью ПМ с позиции четвертой, системной. Ведь хотя случайность и понята здесь как отсутствие алгоритма, но сам-то алгоритм – понятие системное.

Хотя отдельные старые высказывания системного характера о случайности найти можно (например: " Только местонахождение наблюдателя различает судьбу от случая" [Шпенглер, 1993, с. 209]), однако сам системный подход к случайности относится к последним тридцати годам.

Каждая ПМ формирует свое отношение к аксиоме эквивалентности, а с тем и к самой вероятности. Первая ПМ, в лице Бернулли, удовольствовалась, вместо эквивалентности, принципом исчерпания равновозможностей, унаследованным еще из XVI века. Вторая, в форме теории динамического хаоса, понимает эквивалентность как эргодичность или как перемешивание. Третья, в лице Мизеса, ищет эквивалентности в иррегулярности.

Как уже сказано, основная ошибка Мизесавидится в том, что он прямо отрицал симметрийный подход, однако вряд ли можно было сразу осознать и суть частотного понимания вероятности, и ее симметрийную основу. В дальнейшем (1931 г.) Мизесввел понятие пространства элементарных событий – последнее понятие, которого недоставало для построения колмогоровской ТВ [Феллер, 1964, c. 16]. Ввод этого понятия, позволившего дать вероятности ту самую uniformity, которую смутно ощущал еще Венн[Venn, 1876, c. 233], представляется мне шагом в сторону осознания Мизесом симметрийной природы вероятности.

Но где симметрия – там ищи целостность. В науку идеи целостности входят в рамках системной(четвертой) ПМ. Она касается вероятностной проблематики как в рамках алгоритмической ТВ, так и в рамках симметрийной трактовки вероятности (алгоритм и симметрия – понятия системные). Однако на мой взгляд важнее то обстоятельство, что многие системные случайности демонстрируют нарушение эквивалентности вероятности-меры и вероятности-частоты. К сожалению, мы пока не умеем описать класс этих случайностей, но можем сказать, что для многих систем характерны распределения случайных величин с бесконечными дисперсиями(*), а бесконечную дисперсию естественно трактовать как отсутствие сходимости (даже приближенной) частоты к вероятности.

Наконец, диатропическая (пятая) ПМ прямо ставит вопрос о том, что случайности бывают разные и что для одних эквивалентность место имеет, а для других нет. Об этом см. главу 8.