Уравнения Ламе движения упругого тела в перемещениях

- ур-е движения в напряжениях

Используя з-н Гука для изотропного тела

, где и уравнений совместности

Получаются диф-е ур-я Ламе , где

Здесь. Уравнения (6) называются уравнениями Ламе или же уравнениями движения (а при – уравнениями равновесия) в перемещениях. Эти уравнения чаще всего используются в теории упругости для решения 2–ой основной задачи – определения напряженно-деформированного состояния тела по заданным на его границе S перемещениям, а в случае зависимости решения от времени t – при заданных на S граничных условиях

и начальных условиях для всех точек тела

Билет 28
1. Основная теорема о вычетах

Пусть регулярна на множестве , тогда по т. Лорана, функция представима в виде . Опр. Вычетом функции в т. наз. коэф. и обозн. . Из ф-лы коэф-та ряда Лорана следует . Отсюда .

1. устранимая особая точка. В этом случае =0 (т.к. главн часть р. Лорана =0)

2. полюс a) порядок полюса 1

Если то

б) полюс порядка m произв-я порядка m-1

3. существенно особая точка. Для вычисления использ-ся либо опред. Либо формулу

Опр. Пусть тогда . Если то

.

Основная теорема вычетов: Пусть регулярна в огранич. односвязной области за исключением конечного числа изолир особых точек и изолир замкнут кривая, содерж в себе изолир точки . Тогда .

Следствие: Пусть регул во всей расширенной компл пл-ти за исключением , тогда сумма вычеты во всех особых точках и в т равна 0.
2. Принцип Гаусса (принцип наименьшего принуждения)

Рассм-м мех-ю систему n точек с произв-ми голономными и неголономными идеальными связями, движущуюся отн-но инерциальной системы коор-т под действием активных сил (j, 1, N)

Опр. Функция где кинематически допустимые ускорения точек си-мы, наз-ся принуждение по Гауссу

Пр-п Гаусса: в каждый момент времени действительное движение с-мы отличается от всех кинематически возможных тем, что на действительном дв-ии принуждение по Г принимает минимальное значение где варьируются только ускорения. Ф-я Z есть мера отклонения за время положения точек системы в кинематически допустимом движении от положения точек этой с-мы при её движении без учета связей

- ур-я движения системы (в отличие от Лагранжа 1-го рода верны при каких угодно связях системы. (наиболее общий принцип механики)