Кручение призматических стержней произвольного постоянного поперечного сечения

Рассмотрим призматический стержень длиной L с произвольным постоянным поперечным сечением. Боковая поверхность свободна от напряжений. К основаниям стержня приложена пара моментов величины M. Объемных сил нет. Пусть точка O – любая точка поперечного сечения. Воспользуемся принципом Сен-Венана и сделаем предположения относительно деформации.

А. Поперечное сечение при поворачивается вокруг оси относительно сечения на угол , где неизвестно

Б. Если то

Находим

Пусть угол поворота мал

Тогда

Итак

Находим компоненты тензора малых деформаций по формуле

Подставляем потом в закон Гука и находим напряжения

Подставляем в ур-я равновесия

далее следовательно

Граничные условия на С,

ГУ: при

1-й подход (хватит и одного!)

Пусть тогда (10)

ГУ перепишем в виде

(11)

Заметим что

на С (12)

Функция Ф наз-ся функцией кручения

Задача (10-12) наз-ся граничной задачей Неймана

Т.о Ф –гармоническая ф-я в с определенной нормальной производной на С. Проинтегрируем 12 на С

Получаем (13)

М-но док-ть что из условия 13 следует, что функция Ф находится однозначно с точностью до произвольной постоянной.

Найдем крутящий момент

Используя теорему Грина имеем (13)

Где D – крутильная жесткость стержня, J – полярный момент инеции поп. сечения отн-но О

Из 13 находим и находим зн-я напряжений и тд