Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Группа,поле, кольцо
Опр.Группы непустое множество M- группа, если: 1. на опред-на бинар. алгебр. оп-я ; 2. - ассоц., т.е. ; 3. в : ( - нейтр. эл-т); 4. : ( - симметр. эл-ту ). Св-ва: 1. нейтральный эл-т в группе определен однозначно: . Пр-р: 1. Z, +, 0, -a +: Z, Q, R, C – аддитивные группы *: Q*, R*, C* - мультипликативные группы (Q*={Q}-{0}) Группа наз-ся абелевой если операция коммутативна. : Опр Пусть G - группа, подмножество H≠ 0 в G называется подгруппой, если H группа относительно индуцированной операции. (H устойчиво относительно индуцированной операции, в нем есть нейтральный и для каждого сущ симметричный) Пример: G=(Z, +) H=(2Z, +). Опр Кольца:. Мн-во с двумя алгебр. операторами + и * - кольцо, если: 1. - абелева группа; 2. выполн. дистрибутивность: , ; 3. умножение ассоциативно. пример Z, +, * - коммутат кольцо с 1; 2Z, +, * - коммутат кольцо без 1 Опр. - кольцо с единицей, если нейтральный эл-т 1 относит. умнож., т.е. . /Пр-р кольца без единицы – кольцо чет. чисел/. Опр. Кольцо наз-ся коммутативным, если умножение коммутативно (). Опр. Подкольцо — это подмножество кольца, содержащее мультипликативную единицу и само являющееся кольцом относительно тех же бинарных операций. Более строго, если есть кольцо , называется подкольцом , если оно является кольцом относительно сужения + и * на S, а также содержит ту же мультипликативную единицу, что и . Подкольцо — это просто подгруппа , содержащая единицу и замкнутая относительно умножения. Например, кольцо целых чисел является подкольцом поля вещественных чисел и подкольцом кольца многочленов . Опр Поля. Полем наз-ся коммутатив. кольцо с единицей , содерж не менее двух элементов, в котором любой элемент кроме нуля обратим. Пр-ры: P принадл С, P={0, 1} Опр. Линейное, или векторное пространство над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции 1) сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый 2) умножения на скаляр (то есть элемент поля P) При этом удовлетворяются следующие условия: 1) коммутативность сложения 2) ассоциативность сложения 3) существование нейтрального элемента относительно сложения 4) существование противоположного элемента. 5) ассоциативность умножения на скаляр 6) умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор. 7) дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров 8) дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов.
|