Свойство упругого равновесия изотропного тела при отсутствии массовых сил

X=Y=Z=0, , где - компоненты вектора напряжений, действующих на площадках с нормалями параллельными направлениям в нижнем индексе.Так как - гармоническая функция объемное расширение

Запишем тождества Бельтрами при X=Y=Z=0

- Применяя оператор Лапласа к этим уравнениям, получим

Первый инвариант напряженного состояния при отсутствии сил трения есть гармоническая функция, а компоненты напряж-я – бигармонич. фун-и.

Из закона Гука( и т.д.) после применения (бигармонического оператора или «двойного Лапласиана»)получим

При отсутствии объемных сил компоненты тензора деф. являются бигармоничными функциями.

Из уравнений упругого равновесия (t=0) в перемещениях при X=Y=Z=0

Применим оператор Лапласа

При этих предположениях компоненты перемещений являются бигармоническими функциями.

Если область D – связная (существует такая точка O в D, что любая другая может быть соединена лучем с точкой O, целиком лежащим в D), то задача определения бигармонической функции сводится к более простой - к определению гармонической функции.

Билет 20
1. Условия Коши‑ Римана дифференцируемости функции комплексного переменного

D C – область f: D C – функция комплексного переменного

Определение: Функция f: D C называется дифференцируемой в точке z D, если l: C C: f(z+h)-f(z)=l(h)+ (h), при h

Замечание: Функция f называется R диф. или C диф. в зависимости от того, является ли она R илиC линейной.

Представим f в равносильном виде , D , f=u+iv

тогда R диф. функции f равносильна диф. v и u в обычном смысле.

Введем в рассмотрение ,

Теорема(*):

1. Диф. R диф.-ой ф. f в точке z на векторе h можно представить в виде Df(z)(h)=

2. R – диф.-ая ф. в точке z является C – диф.-ой в этой же точке

3. Функция f – C диф.-ая l – С линейная, т.е. надо

Определение: Тождество называется уравнением Коши-Римана.

Перепишем его в равносильном виде т.е. если считать z=x+iy, f=u+iv

Определение: Функция называется аналитической в окрестности точки z, если существует окрестность этой точки, в которой функция имеет непрерывные частные производные и верно уравнение Коши-Римана.

Определение: Производной функции f: U , U называется .

Свойства:

Одинаковые свойства ФКП и ФВП основаны на определении и на следующих утверждениях:

1. Теория предела ФКП совпадает с теорией пределов ФВП, кроме теорем о связи пределов с операциями отношения неравенств.
2. Арифметические операции над комплексными числами подчиняются тем же законам, что над вещественными теоремы о производной суммы, частного, обратной функции, композиции для ФКП такие же как и для ФВП.

Следующие утверждения эквивалентны:

1. Существует конечная производная

2. f(c) дифференцируемо в точке c

Доказательство:

1) f(z+h)- f(z) = (z)h+o(h) при h Обозначим (z)=a, тогда по определению f(c) – диф.

2) По определению f(z+h)- f(z) =аh+o(h) при h .

Определение: Производная по напр-ю в точке z опр-ся равенством .

Теорема: Если f – R диф. в точке z, то производная по направлению

Производная по направлению в точке z не зависит от направления когда ф. С – диф. в точке z и