Определение и примеры конформных отображений

Опр. Отображение которое в точке сохраняет углы между кривыми, имеет постоянный коэффициент растяжения, называется конформным отображением в этой точке.

Если отображение сохраняет направление отсчета углов. То оно называется конформным отображением 1-го рода, иначе 2-го рода.

Опр. Пусть , , наз-ся конформным в точке , если отображение конформно в точке .

Опр. Пусть , , наз-ся конформным в точке , если отображение конформно в точке .

Отображение конформно в области , если оно конформно в каждой точке.

Свойства конформных отображений.

1. конформна в области , то и конформна

2. композиция конформных отображений конформна

3. конформна в области => область

4. конформна в области ó биекция и диф-ма на ()

5. Принцип сохранения границ

Основная задача теории конформных отображений – для заданных областей и найти конформные отображения при условии что .

1. Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.

Решение. В точках отличных от i и конформность следует из существования производной и не равенству её нулю.

В точке z=i значение функции w= , поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию в точке z=i. Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при z=i.

В точке w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить на 0 с помощью замены переменного ). Таким образом, для исследования берётся функция в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.

2. Исследовать на конформность в точке z= функцию w=iz-2.

Решение. Во всех точках производная существует и не равна нулю. При z= , w= , поэтому, согласно определению, необходимо сделать две замены: , и . В итоге, для исследования на конформность имеем функцию . Эта функция в точке имеет производную не равную нулю.