Элементарная теория гироскопов. Движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки

Определение: гироскопом обычно называют быстро вращающееся вокруг оси симметрии однородное тело, ось которого может менять положение в пространстве.

Рассмотрим гироскоп, закрепленный так, что его центр тяжести совпадает с неподвижной точкой O его оси. Такой гироскоп вращается вокруг оси симметрии с угловой скоростью , т.к. угловая скорость направлена в данном случае по главной центральной оси инерции, то кинетический момент гироскопа относительно точки O будет направлен по той же оси и , I – момент инерции гироскопа относительно его оси. Если никакие внешние силы (кроме силы тяжести) на гироскоп не действуют, то главный момент внешних сил относительно центра O равен 0 => из теоремы об изменении кинетического момента получаем , поскольку направлен при этом вдоль оси симметрии, тоось в этом случае будет сохранять свое начальное положение относительно инерциальной системы отсчета, а будет постоянной. Если же на гироскоп действуют какие-то внешние силы, то кроме собственного вращения гироскоп будет совершать прецессионное и нутационное движение =>

- угловая скорость. Компонентой - скоростью нутации пренебрегают (мала), а - скорость прецессии считается много меньше (т.к. гироскоп считается быстро вращающимся) => при данных допущениях кинетический момент имеет значение и также в любой момент времени напрвлен по оси гироскопа. 2. Теорема Резаля: Скорость конца вектора кинетического момента равна численно и по направлению главному моменту внешних сил, т.е. ,

Рассмотрим движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки.

Система уравнений Эйлера - Пуассона:

После интегрирования данной системы мы получим как функции времени.

Из кинематических уравнений Эйлера => от t.

Получим соотношение вида , .

Три первых интеграла существуют всегда, это классические первые интегралы.

1. Интеграл кинетического момента

т.к. => .

Т.к. получим:

2. Интеграл энергии

Предположим, что связь идеальная:

В неподвижной точке потенциальная энергия равна 0.

3. Т.к. -направляющие косинусы, то:

4. Четвертый интеграл был найден только в трех частных случаях:

- Эйлера - Пуансо, в предположении, что кинетический момент силы , центр тяжести .

- Лагранжа – Пуассона, в предположении, что и центр масс .

- Ковалевской, в предположении, что центр тяжести .