Прямоугольные координаты точки и вектора. Базис

2.1. Построить вектор = =2 + 3 + 6 и определить его длину и направление (проверить по формуле cos ²α + cos ²β + cos ²γ =1).

Ответ:

2.2. Даны точки А (1; 2; 3) и В (3; -4; 6). Построить вектор = , его проекции на оси координат и определить длину и направление вектора. Построить углы вектора с осями координат.

Ответ:

2.3. На плоскости хОу даны точки А (4; 2); В (2; 3) и С (0; 5) и построены векторы , и . Разложить геометрически и аналитически вектор по векторам .

Ответ: .

2.4. Даны три последовательные вершины параллелограмма А (1; -2; 3); В (3; 2; 1); С (6; 4; 4). Найти координаты его четвертой вершины D.

Ответ: D (4; 0; 6).

2.5. Даны три вершины А (3; -4; 7); В (-5; 3; -2) и С (1; 2; -3) параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину D, противоположную В.

Ответ: D (9; -5; 6).

2.6. Даны две смежные вершины параллелограмма А (-2; 6); В (2; 8) и точка пересечения его диагоналей М (2; 2). Найти две другие вершины.

Ответ: С (6; -2); D (2; -4).

2.7. Определить координаты вершин треугольника, если известны середины его сторон: К (2; -4); М (6; 1); N (-2; 3).

Ответ: А (-6; -2); В (2; 8); С (10; -6).

2.8. На оси абсцисс найти точку М, расстояние от которой до точки А (3; -3) равно 5.

Ответ: М₁ (7; 0) и М₂ (-1; 0).

2.9. На оси ординат найти точку М, равноудаленную от точек А (1; -4; 7) и В (5; 6; -5).

Ответ: М (0; 1; 0).

2.10. Даны вершины треугольника А (3; -1; 5); В (4; 2; -5) и С (-4; 0; 3). Найти длину медианы, проведенной из вершины А.

Ответ: 7.

2.11. Отрезок с концами в точках А (3; -2) и В (6; 4) разделен на три равные части. Найти координаты точек деления.

Ответ: (4; 0) и (5; 2).

2.12. Определить координаты концов отрезка, который точками С (2; 0; 2) и D (5; -2; 0) разделен на три равные части.

Ответ: (-1; 2; 4) и (8; -4; -2).

2.13. Треугольник задан координатами своих вершин А (3; -2; 1); В (3; 1; 5); С (4; 0; 3). Вычислить расстояние от начала координат до точки пересечения медиан этого треугольника.

Ответ: .

2.14. Задан тетраэдр OABC. В базисе из ребер и , найти координаты:

а) вектора где D и Е – середины ребер и ;

б) вектора , где F – точка пересечения медиан основания АВС.

Ответ: а) (-1/2; 1/2; 1/2); б) (1/3; 1/3; 1/3).

2.15. В тетраэдре ОАВС медиана AL грани АВС делится точкой М в отношении . Найти координаты вектора в базисе из ребер и .

Ответ: (7/10; 3/20; 3/20).

2.16. Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О. В базисе из векторов и найти координаты:

а) вектора , где М – точка пересечения диагоналей параллелограмма;

б) вектора , где К – середина стороны AD.

Ответ: а) (1/2; 0; 1/2); б) (1; -1/2; 1/2).

2.17. В трапеции ABCD известно отношение длин оснований: . Найти координаты вектора в базисе из векторов .

Ответ: (1; -1/l; -1).

2.18. На плоскости заданы векторы (-1; 2), (2; 1) и (0; -2). Убедиться, что β =(, ) – базис в множестве всех векторов на плоскости. Построить заданные векторы и найти разложение вектора по базису β.

Ответ: =- .

2.19. Показать, что тройка векторов (1; 0; 0), (1; 1; 0) и (1; 1; 1) образует базис в множестве всех векторов пространства. Вычислить координаты вектора в базисе β =(, ) и написать соответствующее разложение по базису.

Ответ: = -2 е ₁+ е ₂- е ₃.

2.20. Заданы векторы , , . Найти:

а) координаты орта ;

б) координаты вектора ;

в) разложение вектора по базису β =();

г) .

Ответ: а) а ₀(2/ ; 3/ ; 0); б) а - b+c=d (3; 11/2; 0); в) a+b- 2 c= -2 j; г) пр _j(a-b) =6.

2.21. Найти координаты орта , если (6; 7; -6).

Ответ: (6/11; 7/11; -6/11).

2.22. Найти Z( ), если Х( )= 3, Y( )=- 9 и | |=12.

Ответ: .

2.23. Найти длину и направляющие косинусы вектора , если , , .

Ответ: | p |= , cos α =9/ , cos β =8/ , cos γ =3/ .

2.24. Даны векторы ={3; -2; 1}, ={-2; 4; -3}. Найти длину и направление вектора .

Ответ: .

2.25. Найти вектор , коллинеарный вектору , образующий с ортом острый угол и имеющий длину | |=15.

Ответ: х=- 5 i+ 10 j +10 k.

2.26. Найти вектор , образующий со всеми тремя базисными ортами равные острые углы, если | |= .

Ответ: х= 2 i+ 2 j +2 k.

2.27. Найти вектор , образующий с ортом угол 60^о, с ортом – угол 120^о, если | |= .

Ответ: х= ±5 i+ j - k.

2.28. При каких значениях α и β векторы и коллинеарны?

Ответ: α =-1, β =4.