Полярная система координат

9.1. В полярной системе координат (φ, r) построить точки А (0; 3); В (π /4; 2); С (π /2; 3); D (π; 2); Е (3π /2; 3).

9.2. Построить точки: А (π /2; -2); В (-π /2; 3); С (-π /4; -4); D (2π /3; -3).

В номерах 9.3-9.8 записать уравнения заданных кривых в полярных координатах:

9.3. у=х.

Ответ: tg φ =1.

9.4. у =1.

Ответ: rsin φ =1.

9.5. х+у -1=0.

Ответ: .

9.6. х ²+ у ²= а ².

Ответ: r=а.

9.7. х ²- у ²= а ².

Ответ: .

9.8. х ²+ у ²= ах.

Ответ: r=acos φ.

В номерах 9.9-9.20 записать уравнения заданных кривых в декартовых прямоугольных координатах и построить эти кривые:

9.9. r =5.

Ответ: окружность х ²+ у ²=25.

9.10. tg φ =-1.

Ответ: прямая у=-х.

9.11. rcos φ =2.

Ответ: прямая х= 2.

9.12. rsin φ =1.

Ответ: прямая у =1.

9.13. .

Ответ: прямая х-у -1=0.

9.14. .

Ответ: прямая х+у -2=0.

9.15. r= 2 acos φ.

Ответ: окружность (х-а) ²+ у ²= а ².

9.16. r= 2 asin φ.

Ответ: окружность х ²+(у-а) ²= а ².

9.17. sin φ =1/ .

Ответ: пара лучей х =±2 у, у ≥ 0.

9.18. sinr= 1/2.

Ответ: семейство концентрических окружностей радиусов r_n =(-1) ⁿ +π n, n =0, 1, 2, …

9.19. r ² sin 2φ =2 a ².

Ответ: гипербола ху=а ².

9.20. r ²= a ² cos 2φ.

Ответ: лемниската Бернулли (х ²+ у ² ) ²= а ²(х ²- у ² ).

9.21. Построить линии:

1) r=a φ (архимедова спираль); 2) r=a (1- cos φ) (кардиоида);

3) r ² =a ² cos 2φ (лемниската); 4) r=a /φ (гиперболическая спираль);

5) r=a (1+2 cos φ) (улитка Паскаля).

9.22. Написать в полярных координатах уравнение окружности с центром в точке С (0; а) и радиусом, равным а.

Ответ: .

9.23. Определить полярные координаты центра и радиус каждой из следующих окружностей:

а) r= 4 cos φ; б) r= 3 sin φ; в) r= -5 sin φ; г) r= 6 cos ;

д) r= 8 sin ; e) r= 8 sin .

Ответ: а) С (2; 0); R =2; б) С (3/2; π /2); R =3/2; в) С (5/2; -π /2); R =5/2; г) С (3; π /3); R =3; д) С (4; 5π /6); R =4; е) С (4; -π /6); R =4.

9.24. Построить кривые:

1) r= 3-2 sin 2φ; 2) r= 2+ cos 3φ; 3) r= 1- sin 3φ.

Указание. Определить сначала углы, при которых имеем r_max и r_min.

Ответ: 1) r_max =5 при r_min =1 при r =3 при 2) r_max =3 при r_min =1 при 3) r_max =2 при r_min =0 при

9.25. Построить кривые: 1) r= 3+2 cos 2φ; 2) r= 3- sin 3φ; 3) r=аcos 2φ.

Ответ: 1) r_max =5 при r_min =1 при 2) r_max =4 при r_min =2 при 3) r = а при r =- а при r =0 при

9.26. Построить: 1) r= 4(1+ cos φ); 2) r= 2- sin φ.