Плоскость и прямая в пространстве

7.1. Построить плоскости: 1) 5 х -2 у +3 z- 10=0; 2) 3 х +2 у - z =0; 3) 3 х +2 z= 6; 4) 2 z -7 = 0.

7.2. Заданы плоскость Р и точка М. Написать уравнение плоскости P', проходящей через точку М параллельно плоскости Р, и вычислить расстояние r(P, P'), если:

а) Р: -2 х + у - z +1=0, М (1; 1; 1);

б) Р: х - у -1=0, М (1; 1; 2).

Ответ: а) 2 х-у+z- 2=0; 1/ ; б) х-у =0, плоскость параллельна оси Оz и проходит через начало координат; 1/ .

7.3. Найти плоскость, проходящую через точку (2; 2; -2) и параллельную плоскости х -2 у -3 z =0.

Ответ: х -2 у -3 z =4.

7.4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (-2; 7; 3) параллельно плоскости х -4 у +5 z +1=0.

Ответ: х -4 у +5 z +15=0.

7.5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (2; 3; -4) параллельно плоскости YOZ.

Ответ: х -2=0.

7.6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (-2; 1; 4) параллельно плоскости 3 х+ 2 у -7 z +8=0.

Ответ: 3 х+ 2 у -7 z +32=0.

7.7. Написать уравнение плоскости P', проходящей через заданные точки М₁ и М₂ перпендикулярно заданной плоскости Р, если:

а) Р: - х + у -1=0, М₁ (1; 2; 0), М₂ (2; 1; 1);

б) Р: 2 х - у + z +1=0, М₁ (0; 1; 1), М₂ (2; 0; 1).

Ответ: а) х+у- 3=0; б) х+ 2 у -2=0.

7.8. Даны точки М₁ (0; -1; 3) и М₂ (1; 3; 5). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ и перпендикулярной к вектору = .

Ответ: х +4 у -2 z =2.

7.9. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (-1; 2; 3) перпендикулярно вектору .

Ответ: х -2 у -3 z +14=0.

7.10. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (-1; -1; 2) и перпендикулярной к плоскостям х -2 у + z -4=0 и x+ 2 у- 2 z+ 4=0.

Ответ: 2 х +3 у +4 z =3.

7.11. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁ (2; 3; -1), М₂ (1; 5; 3) перпендикулярно плоскости 3 х - у +3 z +15=0.

Ответ: 2 х +3 у - z -14=0.

7.12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (1; 1; -1) и перпендикулярной к плоскостям 2 х - у +5 z+ 3=0 и х +3 у - z -7=0

Ответ: 2 х-у-z -2=0.

7.13. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (0; 0; а) и перпендикулярной к плоскостям х - у - z =0 и 2 у=х.

Ответ: 2 х + у + z = а.

7.14. Даны точки М₁ (0; -1; 3), М₂ (1; 3; 5). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ перпендикулярно вектору .

Ответ: х+ 4 у +2 z -2=0.

7.15. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (0; -5; 0) и (0; 0; 2) перпендикулярно плоскости х+ 5 у +2 z -10=0.

Ответ: 2 у -5 z +10=0.

7.16. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (-2; 3; 6) перпендикулярно плоскостям 2 х+ 3 у -2 z -4=0, 3 х+ 5 у + z =0.

Ответ: 13 х- 8 у + z +44=0.

7.17. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М параллельно векторам и , если:

а) М (1; 1; 1), (0; 1; 2), (-1; 0; 1);

б) М (0; 1; 2), (2; 0; 1), (1; 1; 0).

Ответ: а) х- 2 у-z =0; б) - х+у +2 z -5=0.

7.18. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (2; -3; 1) параллельно векторам .

Ответ: х + у - z +2=0.

7.19. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁ и М₂, параллельно вектору , если:

а) М₁ (1; 2; 0), М₂ (2; 1; 1), (3; 0; 1);

б) М₁ (1; 1; 1), М₂ (2; 3; -1), (0; -1; 2).

Ответ: а) – х+ 2 у- 3 z- 3=0; б) 2 х- 2 у - z +1=0.

7.20. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М₁, М₂ и М₃, если:

а) М₁ (1; 2; 0), М₂ (2; 1; 1), М₃ (3; 0; 1);

б) М₁ (1; 1; 1), М₂ (0; -1; 2), М₃ (2; 3; -1).

Ответ: а) х+у- 3=0; б) 2 х-у -1=0.

7.21. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁ (1; -1; 2), М₂ (2; 1; 2) и М₃ (1; 1; 4).

Ответ: 2 х - у + z =5.

7.22. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁ (3; -1; 2), М₂ (4; -1; -1), М₃ (2; 0; 2).

Ответ: 3 х +3 у + z -8=0.

7.23. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁ (1; -1; 0), М₂ (2; 1; -3), М₃ (-1; 0; 1).

Ответ: х + у + z =0.

В задачах 7.24-7.27. исследовать взаимное расположение заданных плоскостей. При этом в случае, если плоскости параллельны, то найти расстояние r(P₁, P₂) между плоскостями, а в случае, если плоскости пересекаются – косинус угла между ними.

7.24. Р₁: - х +2 у - z +1=0, Р₂: у +3 z -1=0.

Ответ: Пересекаются, cos .

7.25. Р₁: 2 х - у + z -1=0, Р₂: -4 х +2 у -2 z -1=0.

Ответ: параллельны, r(Р₁, Р₂)= .

7.26. Р₁: х-у +1=0, Р₂: у-z +1=0.

Ответ: Пересекаются, cos .

7.27. Р₁: 2 х - у - z +1=0, Р₂: -4 х+ 2 у +2 z -2=0.

Ответ: Совпадают.

7.28. Найти расстояние от точки (5; 1; -1) до плоскости x- 2 у- 2 z+ 4=0.

Ответ: 3.

7.29. Найти расстояние от точки (4; 3; 0) до плоскости, проходящей через точки М₁ (1; 3; 0), М₂ (4; -1; 2) и М₃ (3; 0; 1).

Ответ:

7.30. Найти расстояние от точки М₁ (2; -1; -1) до плоскости 16 х- 12 у +15 z -4=0.

Ответ: 1.

7.31. Найти расстояние от точки М₀(1; 3; -2) до плоскости 2 х- 3 у -4 z +12=0.

Ответ: .

7.32. Найти угол между плоскостями:

1) х -2 у +2 z -8=0 и x+z- 6=0; 2) х +2 z -6=0 и x+ 2 y- 4=0.

Ответ: 1) 45˚; 2) .

7.33. Найти угол между плоскостями х + у -1=0 и 2 х - у + z +1=0.

Ответ: .

7.34. Найти угол между плоскостями х+ 2 у -3 z +4=0, 2 х+ 3 у + z +8=0.

Ответ: .

7.35. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (1; 7; -5) и отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки.

Ответ: x+y+z -3=0.

7.36. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ (-4; 0; 4) и отсекающей на осях Ох и Оу отрезки а =4 и b =3.

Ответ: .

7.37. Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью Р: 2 х -3 у +6 z -12=0 и координатными плоскостями.

Ответ: 8.

7.38. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (2; 0; -3) параллельно:

а) вектору (2; -3; 5);

б) прямой ;

в) оси Ох;

г) оси Оz;

д) прямой

е) прямой х =-2+ t, y =2 t, z= 1-1/2 t.

Ответ: а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

7.39. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (4; 3; 0) и параллельной вектору {-1; 1; 1}. Найти след прямой на плоскости уОz и построить прямую.

Ответ: .

7.40. Написать уравнения прямой, проходящей через точку А (0; -4; 0) и параллельной вектору {1; 2; 3}, найти след прямой на плоскости х О z и построить прямую.

Ответ: .

7.41. Написать уравнения прямой, проходящей через точку М₀ (2; -3; -4) параллельно прямой: .

Ответ: .

7.42. Написать уравнения прямой, проходящей через точку (-4; 3; 0) параллельно прямой .

Ответ: .

7.43. Написать уравнения прямой, проходящей через две заданные точки М₁ и М₂, если:

а) М₁ (1; -2; 1), М₂ (3; 1; -1);

б) М₁ (3; -1; 0), М₂ (1; 0; -3).

Ответ: а) ; б) .

7.44. Построить прямую, проходящую через точки А (2; -1; 3) и В (2; 3; 3), и написать ее уравнения.

Ответ: х =2, z =3.

7.45. Написать уравнения прямой, проходящей через точки А (-1; 2; 3) и В (2; 6; -2). Найти ее направляющие косинусы.

Ответ:

.

7.46. Написать канонические уравнения прямой, образующей с осями координат углы и проходящей через точку М₀ (-1; 0; 5).

Ответ: .

7.47. Найти угол между прямыми: x-y+z- 4=0, 2 x+y- 2 z +5=0 и x+y+z- 4=0, 2 x+ 3 y-z -6=0.

Ответ:

7.48. Найти угол между прямыми 2 x-y- 7=0, 2 x-z +5=0 и 3 x- 2 y+ 8=0, z =3 х.

Ответ: Приведем уравнения к канонической форме: и ;

7.49. Найти угол между прямыми:

и .

Ответ: p/3.

7.50. Найти угол между прямыми и .

Ответ: .

7.51. Доказать, что прямые и параллельны.

7.52. Написать канонические уравнения перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость 4 х - у +2 z -3=0.

Ответ: .

7.53. Написать уравнения прямой, проходящей через точку М₀ (2; 1; -1) перпендикулярно плоскости х-у+z+ 1=0.

Ответ: .

7.54. Определить, при каком значении l плоскость 5 х -3 у +l z +1=0 будет параллельна прямой

Ответ: -11.

7.55. Показать, что прямая параллельна плоскости 2 x + y-z =0, а прямая лежит в этой плоскости.

Ответ: Для обеих прямых но точка первой (-1; -1; 3) не лежит на плоскости, а точка второй (-1; -1; -3) лежит на плоскости.

7.56. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (2; 2; -2) перпендикулярно линии пересечения плоскостей 3 х -2 у - z +1=0 и х - у - z =0.

Ответ: х +2 у - z -8=0.

7.57. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось ОZ и точку М₀ (1; -2; 1).

Ответ: 2 х + у =0.

7.58. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (1; -2; 3) и прямую: .

Ответ: 7 х +5 у -9 z +30=0.

7.59. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку (3; 4; 0).

Ответ: х -2 у + z +5=0.

7.60. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости 3 х +3 у - z +1=0.

Ответ: 6 х -5 у +3 z -11=0.

7.61. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости 2 х +3 у - z =4.

Ответ: 8 х -5 у + z -11=0.

7.62. Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и .

Ответ: x +2 y-2z =1.

7.63. Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и .

Ответ: х-у-z =0.

7.64. Написать уравнение плоскости, проходящей через пару параллельных прямых и .

Ответ: 3 х -2 у -3=0.

7.65. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямые и .

Ответ: х +2 у -2 z =1.

7.66. Найти точку пересечения с плоскостью 2 х +3 у -2 z +2=0.

Ответ: (3; 2; 7).

7.67. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости х -3 у +2 z+ 1=0 с прямыми

и .

Ответ: .

7.68. Найти уравнения проекции прямой на плоскость х -3 у - z +8=0.

Ответ: .

7.69. Найти проекцию точки (3; 1; -1) на плоскость x+ 2 y+ 3 z -30=0.

Ответ: (5; 5; 5).

7.70. Найти проекцию точки (3; 1; -1) на плоскость 3 x+y+z -20=0.

Ответ: (6; 2; 0).

7.71. Найти проекцию точки (2; 3; 4) на прямую x=y=z.

Ответ: (3; 3; 3).

7.72. Найти проекцию точки (1; 2; 8) на прямую .

Ответ: (3; -1; 1).

7.73. Найти угол прямой y= 3 x -1, 2 z=- 3 х +2 с плоскостью 2 x + y+z- 4=0.

Ответ: .

7.74. Найти угол между прямой и плоскостью 6 х -3 у +2 z =0.

Ответ: .

7.75. Заданы прямая L: и точка М (0; 1; 2)Ï L. Требуется:

а) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую L и точку М;

б) написать уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно прямой L;

в) написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую L;

г) вычислить расстояние r(M, L);

д) найти проекцию точки М на прямой L.

Ответ: а) х- 2 у+z= 0; б) 2 х + у- 1=0; в) или ; г) 18/ ; д) M' (3/5; -1/5; -1).

7.76. Найти расстояние между параллельными прямыми

и .

Ответ: 3.

7.77. Найти расстояние от точки А (2; 3; -1) до заданной прямой L:

а) б)

Ответ: а) 6/ ; б) 21.

7.78. Найти расстояние от точки М (2; -1; 3) до прямой .

Ответ: .

7.79. Найти расстояние от точки М (3; 0; 4) до прямой y= 2 x +1, z= 2 х.

Ответ: А (0; 1; 0), .

7.80. Найти расстояние между прямыми и .

Ответ: .