Прямая на плоскости

В задачах 6.1-6.3 требуется:

1) написать уравнение прямой, привести его к общему виду и построить прямую;

2) привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от начала координат до прямой.

6.1. Прямая L задана точкой М₀ (х ₀, у ₀)Î L и нормальным вектором (A, B):

а) М₀ (-1; 2), (2; 2); б) М₀ (2; 1), (2; 0); в) М₀ (1; 1), (2; -1).

Ответ: а) 2(х +1)+2(у -2)=0. Общее уравнение: х+у -1=0. Нормальное уравнение: б) 2(х -2)=0. Общее уравнение: х -2=0, прямая параллельна оси Оу. Нормальное уравнение: х -2=0; р =2; в) 2(х -1)-(у -1)=0. Общее уравнение: 2 х - у -1=0. Нормальное уравнение: .

6.2. Прямая L задана точкой М₀ (х ₀, у ₀)Î L и направляющим вектором (l, m):

а) М₀ (-1; 2), (3; -1); б) М₀ (1; 1), (0; -1); в) М₀ (-1; 1), (2; 0).

Ответ: а) . Общее уравнение: х +3 у -5=0. Нормальное уравнение: б) Общее уравнение: - х +1=0, прямая параллельна оси Оу. Нормальное уравнение: х -1=0; р =1; в) . Общее уравнение: у -1=0, прямая параллельна оси Ох. Нормальное уравнение: у -1=0; р =1.

6.3. Прямая L задана точками М₁ (х ₁, у ₁) и М₂ (х ₂, у ₂):

а) М₁ (1; 2), М₂ (-1; 0); б) М₁ (1; 1), М₂ (1; -2); в) М₁ (2; 2), М₂ (0; 2).

Ответ: а) . Общее уравнение: х - у +1=0. Нормальное уравнение: б) . Общее уравнение: х -1=0, прямая параллельна оси Оу. Нормальное уравнение х -1=0; р =1. в) . Общее уравнение: у -2=0, прямая параллельна оси Ох. Нормальное уравнение: у -2=0; р =2.

6.4. Построить прямую, отсекающую на оси Оу отрезок b =3 и составляющую с осью Ох угол: 1) 45˚; 2) 135˚. Написать уравнения этих прямых.

Ответ: 1) 2) .

6.5. Определить параметры k и b для каждой из прямых: 1) 2 х -3 у =6; 2) 2 х +3 у =0; 3) у =-3; 4) .

Ответ: 1) 2) 3) 4)

6.6. Уравнения прямых: 1) 2 х -3 у =6; 2) 3 х -4 у +4=0 привести к виду в отрезках на осях.

Ответ: 1) 2)

6.7. Заданы прямая L и точка М. Требуется:

1) вычислить расстояние ρ (M, L) от точки М до прямой L;

2) написать уравнение прямой L', проходящей через точку М перпендикулярно заданной прямой L;

3) написать уравнение прямой L", проходящей через точку М параллельно заданной прямой L.

Исходные данные:

а) L: -2 x + y -1=0, M (-1; 2); б) L: 2 y +1=0, M (1; 0); в) L: х + y +1=0, M (0; -1).

Ответ: а) r(М, L)= -2(x +1)+(y -2)=0;

б) r(М, L)= 2 y =0;

в) r(М, L)=0 x + y+ 1=0.

6.8. Найти расстояния от точек А (4; 3), В (2; 1) и С (1; 0) до прямой 3 х+ 4 у- 10 = 0. Построить точки и прямую.

Ответ: 2, 8; 0; 1, 4.

В задачах 6.9-6.13 исследовать взаимное расположение заданных прямых L₁ и L₂. При этом в случае, если прямые параллельны, то найти расстояние r(L₁, L₂) между прямыми, а в случае, если прямые пересекаются – косинус угла () и точку М₀ пересечения прямых.

6.9. L₁: -2 x + y -1=0, L₂: 2 y +1=0.

Ответ: пересекаются в точке М₀ (-3/4; -1/2); cos ()=1/ .

6.10.

Ответ: пересекаются в точке М₀ (1; 0); cos ()=2/ .

6.11. L₁: x + y -1=0, L₂: 2 х- 2 y +1=0.

Ответ: Параллельны; r(L₁, L₂)= /4.

6.12. L₁: x + y -1=0,

Ответ: Параллельны; r(L₁, L₂)= .

6.13. L₁: - x +2 y +1=0, L₂: 2 х- 4 y- 2=0.

Ответ: совпадают.

6.14. Среди прямых 3 х -2 у +7=0, 6 х -4 у -9=0, 6 х +4 у -5=0, 2 х +3 у -6=0 указать параллельные и перпендикулярные.

6.15. Определить угол между прямыми:

1) у =2 х -3, у = +1; 2) 5 х - у +7=0, 2 х -3 у +1=0.

Ответ: 1) 2) 45˚.

6.16. Показать, что прямые 2 х- 3 у= 6 и 4 х- 6 у= 25 параллельны, и найти расстояние между ними.

Указание. На одной из прямых взять произвольную точку и найти расстояние от нее до другой прямой.

Ответ: .

6.17. Построить области, координаты точек которых удовлетворяют неравенствам:

1) y< 2 -x, x > -2, y > -2;

2) y> 2 -x, x< 4, y < 0;

3) , y≥ x +2, x ≥ -4.

6.18. Написать уравнения сторон ромба с диагоналями 10см и 6см, приняв бό льшую диагональ за ось Ох и меньшую – за ось Оу.

Ответ:

6.19. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (4; 3) и отсекающей от координатного угла треугольник площадью, равной 3.

Ответ: или .

6.20. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М (8; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12.

Ответ: 3 х- 2 у -12=0, 3 х- 8 у +24=0.

6.21. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (2; 4) и отстоящей от точки А (0; 3) на расстояние r=1.

Ответ: х +1=0, у -2=0.

6.22 Найти уравнения прямых, параллельных прямой 12 х+ 5 у- 7 = 0 и отстоящих от нее на расстоянии d= 3.

Ответ: 12 х+ 5 у- 46 =0, 12 х+ 5 у+ 32 =0.

6.23. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (1; 2) и удаленной от точки А (-2; -5) вдвое дальше, чем от точки В (1; 8).

Ответ: 13 х+у -11=0, 15 х-у -13=0.

6.24. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (-2; 3) на одинаковых расстояниях от точек М₁ (5; -1) и М₂ (3; 7).

Ответ: 4 х+у+ 5=0 или у -3=0.

6.25. Написать уравнение прямой, проходящей на расстоянии от точки А (5; 4) перпендикулярно прямой 2 х +6 у -3=0.

Ответ: 3 х-у -1=0, 3 х-у -21=0.

6.26. Найти точку В, симметричную точке А (-2; 4) относительно прямой 3 х+у -8 =0.

Ответ: (4; 6).

6.27. В треугольнике с вершинами А (-2; 0), В (2; 6) и С (4; 2) проведены высота ВD и медиана ВЕ. Написать уравнения стороны АС, медианы ВЕ и высоты ВD.

Ответ:

6.28. Дан треугольник с вершинами А (-2; 0), В (2; 4) и С (4; 0). Написать уравнения сторон треугольника, медианы АЕ, высоты АD и найти длину медианы АЕ.

Ответ: АЕ: AD:

6.29. Найти длину высоты BD в треугольнике с вершинами А (-3; 0), В (2; 5) и С (3; 2).

Ответ:

6.30. Написать уравнения сторон треугольника АВС, если задана его вершина А (1; 3) и уравнения двух медиан x -2 y +1=0 и y -1=0.

Ответ: х+ 2 у- 7=0, х- 4 у -1=0, х-у +2=0.

6.31. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В (2; 6), а также уравнения высоты x -7 y +15=0 и биссектрисы 7 x + y +5=0, проведенных из одной вершины.

Ответ: 4 х- 3 у+ 10=0, 7 х+у -20=0, 3 х+ 4 у -5=0.

6.32. Даны две противоположные вершины квадрата А (1; 3) и С (-1; 1). Найти координаты двух его других вершин и написать уравнения его сторон.

Ответ: В (1; 1); D (-1; 3); (АВ): х -1=0; (ВС): у -1=0; (CD): х +1=0;

(АD): у -3=0.

6.33. Известны уравнение одной из сторон квадрата x +3 y -3=0 и точка пересечения диагоналей N (-2; 0). Написать уравнения остальных его сторон.

Ответ: 3 х-у+ 1=0, х+ 3 у +7=0, 3 х-у +11=0.

6.34. Из точки М (5; 4) выходит луч света под углом φ =arctg2 к оси Ох и отражается от нее. Написать уравнения падающего и отраженного лучей.

Ответ: у-2х+ 6=0, у+ 2 х -6=0.