Векторное произведение векторов

4.1. | |=1, | |=2 и . Вычислить:

а) |[ , ]|; б) |[2 + , +2 ]|; в) |[ +3 , 3 - ]|.

Ответ: а) ; б) 3 ; в)10 .

4.2. Раскрыть скобки и упростить выражения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Ответ: 1) 2) ; 3) ; 4) 3.

4.3. Доказать, что , и выяснить геометрическое значение этого тождества.

Ответ: Площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного параллелограмма, вдвое больше площади данного параллелограмма.

4.4. Векторы и составляют угол 45˚. Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если | |=| |=5.

Ответ: 50

4.5. Дан треугольник с вершинами А (2; -1; 2); В (1; 2; -1); С (3; 2; 1). Найти его площадь.

Ответ: .

4.6. Вычислить площадь треугольника с вершинами А (1; 1; 1), В (2; 3; 4) и С (4; 3; 2).

Ответ: 2 .

4.7. Вычислить площадь треугольника с вершинами А (7; 3; 4); В (1; 0; 6) и С (4; 5; -2).

Ответ: 24, 5.

4.8. В треугольнике с вершинами А (1; -1; 2), В (5; -6; 2) и С (1; 3; -1) найти высоту h =| |.

Ответ: 5.

4.9. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах - единичные векторы с углом между ними 30°.

Ответ: 1, 5.

4.10. Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы 2 - и 4 -5 , где и – единичные векторы .

Ответ: .

4.11. Определить, при каких значениях α и β вектор будет коллинеарен вектору[ , ], если (3; -1; 1), (1; 2; 0).

Ответ: α =-6; β =21.

4.12. Найти координаты вектора , если известно, что он перпендикулярен векторам (4; -2; -3) и (0; 1; 3) образует с ортом тупой угол и | |=26.

Ответ: (-6; -24; 8).

4.13. Найти координаты вектора , если он перпендикулярен векторам (2; -3; 1) и (1; -2; 3), а также удовлетворяет условию = 10.

Ответ: (7; 5; 1).

4.14. Сила приложена к точке А (4; -2; 3). Определить момент этой силы относительно точки О (3; 2; -1).

Ответ: .

4.15. Сила = приложена в точке М (2; -1; 1). Найти ее момент относительно начала координат.

Ответ: .

4.16. Даны три силы: (2; -1; -3), (3; 2; -1) и (-4; 1; 3), приложенные к точке А (-1; 4; 2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки О (2; 3; -1).

Ответ: ; cos α =1/ ; cos β =-4/ ; cos γ =-7/ .