Решение краевых задач для уравнения Гельмгольца с использованием

функции Грина (источника)

Из формулы Гаусса-Остроградского:

легко получить формулу Грина. Пусть вектор где искомая функция и некоторая вспомогательная функция. Так как вектор ( – орт нормали к поверхности ), то проекция (здесь - производная по направлению нормали). Дивергенцию вектора

Если ввести новый оператор , то получим и запишем формулу (не функцию!) Грина

Если область неограниченна, то при несобственные интегралы сходятся.

В частном случае формула Грина принимает вид

Все приведенные формулы можно использовать и для решения плоских или одномерных задач.

Поставим первую краевую задачу Дирихле для уравнения Гельмгольца вида

– искомая функция.

Для решения задачи используем аналогичную модельную краевую задачу для вспомогательных функций = – функции Грина – точка измерения, параметры интегрирования; – точки источников, переменные интегрирования), для которой

Здесь - дельта-функция Дирака, равная при и при . Интеграл от произведения сходящийся и равен

Подставим уравнения для функции и в формулу Грина и получим

Теперь формула для решения первой краевой задачи Дирихле примет окончательный вид

Если функция Грина известна, то решение краевой задачи Дирихле сводится просто к квадратурам.

Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа , называется гармонической, из свойств этих функций следует, что функция Грина положительна в области гармоничности V; она в особых точках (точках зарядов) и (достигает min) только на границе S области V.Решение краевой задачи Дирихле и можно записать

откуда получим , где – площадь поверхности S.