Решение плоской задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом конформных отображений

Постановка краевой плоской задачи Дирихле для функции , где

Здесь - точка источника и M(z)- точка измерения

Введем функцию аналитическую в области D, где - функция искомая и - гармонически сопряженная к ; обе эти функции неизвестны. Здесь обязательно в области D.

Запишем интеграл Коши для искомой аналитической функции Ф(ζ) из области D.

где

Подберем функцию (здесь ζ - переменная и z- параметр) удовлетворяющую следующим условиям:

1. - аналитическая по и непрерывная по

2. – конформно отображает односвязную область D в плоскости на круг так, чтобы точка z стала центром этого круга и выполнялось условие

3. при - отображение конформно всюду в области D.

Разложим функцию в ряд Тейлора вида

здесь и

Рассмотрим логарифмическую производную

Так как имеет при простой нуль, то имеет там простой полюс и функция - тейлоровская часть ряда.