Определение функции Грина в плоских областях.

Пусть на плоскости Оху поставлена смешанная краевая задача:

σ - плоская область и ее граница С=𝜕 σ; х, у =const ≥ 0.

Формула решения этой задачи известна:

где – дифференциал дуги, – элемент площади.

-условие разрешимости задачи Неймана.

Для определения функции Грина поставим задaчу:

где и - функции Дирака.

Здесь функция описывает действие источника из точки и равна при ; «маленькая» функция не имеет особенностей внутри площадки и описывает влияние зарядов, наведенных на граничном контуре C.

На самом деле площадка является только сечением некоторой плоскостью длинного цилиндра с направляющим контуром С; плоскость ортогональна к образующим цилиндра. Точечные заряды внутри области являются точками пересечения с областью заряженных прямых, параллельных образующим на поверхности цилиндра. Заданные функции распределения линейных зарядов F() –внутри области и f()-на граничном контуре С рассчитываются на единицу длины заряженной линии. Если длина отрезка заданного цилиндра гораздо больше всех остальных его геометрических размеров, то такой цилиндр можно считать бесконечно длинным.

В цилиндрической системе координат уравнение для функции Грина при можно записать в виде:

Решение этого уравнения Бесселя, описывающую действия источников, можно записать в виде

где - функция Ханкеля нулевого порядка и рода і=1 или 2. Если зависимость от времени принять , получим С=0 – нет приходящих волн и выбрать – для упрощения последующих расчетов (это возможно при решении однородного уравнения), то получим частное решение и функция Грина будет

Функции Ханкеля нулевого порядка n=0 первого и второго рода (i=1 или 2) при большом значении аргумента имеют асимптоту , а при малом значении будет (здесь –постоянная Эйлера - Маскерони). Если зависимость от времени выбрать в виде , то везде получится - функция Ханкеля второго рода.

При ӕ =0 для уравнения Лапласа и Пуассона получим простое решение или при С=1 и С=0.

При решении задачи Неймана в неограниченных областях по условию задачи требуется выполнение , значит постоянная .