Элементы теории. Определение.МножествоL, состоящее из элементов x, y, z, , называется линейным пространством, если на этом множестве определены две операции – сложения

Определение. Множество L, состоящее из элементов x, y, z, …, называется линейным пространством, если на этом множестве определены две операции – сложения элементов и умножения элемента на число, удовлетворяющие следующим аксиомам:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Определение. Линейное пространство L называется нормированным, если каждому элементу поставлено в соответствие действительное число, называемое нормой элемента и обозначаемое , причем выполняются следующие аксиомы:

1) ,

;

2) ;

3) .

Определение. Расстояние d(x, y) между элементами х и у линейного нормированного пространства определяется как норма разности этих элементов:

.

Упорядоченная совокупность n действительных чисел х₁, х₂, …, х_n называется n -мерным вектором , а числа х₁, х₂, …, х_n – его координатами.

Суммой двух n -мерных векторов и называется n -мерный вектор, координаты которого равны суммам соответствующих координат
x_k + y_k, k = 1, 2, …, n векторов и .

Произведением n -мерного вектора на число l называется n -мерный вектор , координаты которого получаются из координат вектора умножением на число l.

Будем записывать вектор в виде:

.

На векторах линейного пространства R ⁿ можно, в частности, определить следующие нормы (и соответственно три линейные нормированные пространства):

1) - m- норма или кубическая норма;

2) - l- норма или октаэдрическая норма;

3) - k- норма или сферическая норма.

Определение. Прямоугольная таблица чисел из n строк и m столбцов называется матрицей размера n на m.

Будем обозначать матрицу следующим образом:

.

Числа a_ij, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m называются элементами матрицы. Нижние индексы i и j элемента a_ij указывают номера строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент в таблице. Матрица А называется квадратной порядка n, если n = m.

Матрицы одного размера образуют линейное пространство, если для любой пары матриц A = (a_ij) и B = (b_ij) определена матрица суммы А+В, составленная из элементов (a_ij + b_ij), а умножение матрицы на число определено, как умножение каждого элемента матрицы на это число.

Для матрицы определены следующие три нормы:

- m -норма;

- l -норма;

- k -норма.

При m = 1 матрица А представляет собой n -мерный вектор. Ранее введенные нормы для векторов совпадают с нормами, определенными в частном случае для матриц размера n´ 1.

В каждой точке некоторой области пространства Rⁿ могут быть определены n функций, непрерывных вместе со своими частными производными. Тогда в каждой точке можно определить функциональную матрицу порядка n.

Определение. Матрицей Якоби системы функций (f₁(x₁ , x₂ , … x_n), f₂(x₁ , x₂ , … x_n), …, f_n(x₁ , x₂ , … x_n)) называется функциональная квадратная матрица порядка n следующего вида:

.

Нормы матрицы Якоби в точке вычисляются по формулам:

- m -норма;

- l -норма;

- k -норма.

Можно показать, что множество непрерывных функций на отрезке [ a, b ] относительно операций сложения x(t)+y(t) и умножения на число l x(t) образует линейное пространство С _{[ a, b ]}, t Î [ a, b ], l Î R, x(t), y(t) Î С _{[ a, b ]}.

Норма называется равномерной на С _{[ a, b ]} или С -нормой, если:

.

Норма называется квадратичной на С _{[ a, b ]}, если:

.

Расстояние между функциями x(t), y(t) Î С _{[ a, b ]} по равномерной и квадратичной нормам вычисляется соответственно по формулам:

,

.