Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Элементы теории. Определение.МножествоL, состоящее из элементов x, y, z, , называется линейным пространством, если на этом множестве определены две операции – сложения
Определение. Множество L, состоящее из элементов x, y, z, …, называется линейным пространством, если на этом множестве определены две операции – сложения элементов и умножения элемента на число, удовлетворяющие следующим аксиомам: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . Определение. Линейное пространство L называется нормированным, если каждому элементу поставлено в соответствие действительное число, называемое нормой элемента и обозначаемое , причем выполняются следующие аксиомы: 1) , ; 2) ; 3) . Определение. Расстояние d(x, y) между элементами х и у линейного нормированного пространства определяется как норма разности этих элементов: . Упорядоченная совокупность n действительных чисел х1, х2, …, хn называется n -мерным вектором , а числа х1, х2, …, хn – его координатами. Суммой двух n -мерных векторов и называется n -мерный вектор, координаты которого равны суммам соответствующих координат Произведением n -мерного вектора на число l называется n -мерный вектор , координаты которого получаются из координат вектора умножением на число l. Будем записывать вектор в виде: . На векторах линейного пространства R n можно, в частности, определить следующие нормы (и соответственно три линейные нормированные пространства): 1) - m- норма или кубическая норма; 2) - l- норма или октаэдрическая норма; 3) - k- норма или сферическая норма. Определение. Прямоугольная таблица чисел из n строк и m столбцов называется матрицей размера n на m. Будем обозначать матрицу следующим образом: . Числа aij, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m называются элементами матрицы. Нижние индексы i и j элемента aij указывают номера строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент в таблице. Матрица А называется квадратной порядка n, если n = m. Матрицы одного размера образуют линейное пространство, если для любой пары матриц A = (aij) и B = (bij) определена матрица суммы А+В, составленная из элементов (aij + bij), а умножение матрицы на число определено, как умножение каждого элемента матрицы на это число. Для матрицы определены следующие три нормы: - m -норма; - l -норма; - k -норма. При m = 1 матрица А представляет собой n -мерный вектор. Ранее введенные нормы для векторов совпадают с нормами, определенными в частном случае для матриц размера n´ 1. В каждой точке некоторой области пространства Rn могут быть определены n функций, непрерывных вместе со своими частными производными. Тогда в каждой точке можно определить функциональную матрицу порядка n. Определение. Матрицей Якоби системы функций (f1(x1 , x2 , … xn), f2(x1 , x2 , … xn), …, fn(x1 , x2 , … xn)) называется функциональная квадратная матрица порядка n следующего вида: . Нормы матрицы Якоби в точке вычисляются по формулам: - m -норма; - l -норма; - k -норма. Можно показать, что множество непрерывных функций на отрезке [ a, b ] относительно операций сложения x(t)+y(t) и умножения на число l x(t) образует линейное пространство С [ a, b ], t Î [ a, b ], l Î R, x(t), y(t) Î С [ a, b ]. Норма называется равномерной на С [ a, b ] или С -нормой, если: . Норма называется квадратичной на С [ a, b ], если: . Расстояние между функциями x(t), y(t) Î С [ a, b ] по равномерной и квадратичной нормам вычисляется соответственно по формулам: , .
|