Порядок выполнения работы. 1. Даны вектора . Вычислить m-, l-, k-нормы вектора и расстояние для каждой из этих норм.

1. Даны вектора . Вычислить m -, l -, k - нормы вектора и расстояние для каждой из этих норм.

Нормы вектора :

,

,

.

По определению расстояние между векторами и равно норме вектора разности этих векторов. Вектор . Тогда

,

,

.

2. Дан вектор . На координатной плоскости Ох₁ х₂ указать множество точек (х₁ , х₂ ), для которых для m -, l -, k - нормы.

а) Рассмотрим m -норму:

. Это условие эквивалентно системе:

Искомое множество точек – квадрат: ((x₁ , x₂ ): (-3 £ x₁ £ 1) È (1 £ x₂ £ 5))

б) Рассмотрим l -норму:

.

Это неравенство эквивалентно объединению 4-х условий:

После преобразований, получим:

Последовательно рассматривая квадранты координатной плоскости, заданные четырьмя условиями, получим четырехугольник, представленный на рисунке (квадрат, с центром в точке х₁ = -1, х₂ = 3 и сторонами, наклоненными под углом 45° к координатным линиям).

в) Рассмотрим k -норму:

.

После возведения в квадрат:

.

Геометрическое место точек, соответствующее этому неравенству, представляет собой круг радиусом 2 с центром в точке
(-1, 3).

3. На плоскости R² указать множество точек , для которых выполняется следующее неравенство , где J(x) – матрица Якоби системы функций: f₁(x₁ , x₂ ) = 2 ln | x₂ – 1|, .

Вычисляем частные производные функций:

Матрица Якоби имеет вид:

.

Требуемое условие имеет вид:

.

Данное условие эквивалентно системе:

Û Û

Û Û .

Графическое решение системы представлено на рисунке и представляет собой две вертикальные полуполосы.

4. Вычислить равномерную и квадратичную нормы функции x(t)
и определить расстояние d(x, y)_С, , если x(t) = t² – t,
y(t) = 1 – t, t Î [ 0, 1 ].

Найдем . Наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке экстремума (где производная обращается в 0) при условии, что эта точка принадлежит отрезку, или на границах отрезка.

.

.

Таким образом, .

Вычислим расстояние d(x, y)_С:

.

.

Таким образом, .

Найдем :

.

Вычислим расстояние :

.

Варианты

1. Даны вектора и . Вычислить m -, l -, k - нормы вектора и расстояние для каждой из этих норм.

№
,

№
,

№
,

№
,

№
,

2. Дан вектор . На координатной плоскости Ох₁ х₂ указать множество точек (х₁ , х₂ ), для которых для m -, l -, k - нормы.

№

№

№

3. На плоскости R² указать множество точек , для которых выполняется следующее неравенство , где J(x) – матрица Якоби системы функций: f₁(x₁ , x₂ ), f₂(x₁ , x₂ ).

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
		24.

4. Вычислить равномерную и квадратичную нормы функции x(t)
и определить расстояние d(x, y)_С, , t Î [ 0, 1 ].

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
		24.

Лабораторная работа № 3

" Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений"