Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод інтегрування за частинами.
Нехай – неперервно диференційовні на деякому проміжку функції. Розглянемо диференціал їх добутку: . Зінтегруємо обидві частини цієї рівності: . Або:
(5.1)
Формула (5.1) називається формулою інтегрування за частинами. Вона „перекидає” символ диференціала з функції на функцію . Функцію у під-інтегральному виразі підбирають таким чином, щоб інтеграл у правій частині формули (5.1) був простішим, ніж інтеграл у лівій частині цієї формули. Розглянемо приклади. 1). . Оберемо , тоді . Згідно з формулою (5.1) маємо:
.
2) . Оберемо Тоді маємо: .
Чому ж першого разу ми обрали , а другого разу . Ось саме з метою спрощення інтеграла за рахунок формули (5.1). Саме з цих міркувань випливають наступні рекомендації щодо застосування цієї формули.
Якщо під знаком інтеграла міститься добуток степеневої функції на тригонометричну або показникові функцію (зокрема експоненту), то у якості варто обирати степеневу функцію. Якщо під знаком інтеграла міститься добуток степеневої функції на логарифмічну або обернену тригонометричну, то у якості варто обирати відповідно логарифмічну або обернену тригонометричну функцію. Іноді формулу (5.1) доводиться застосовувати декілька разів. Приклади.
1). .
2). .
Позначимо даний інтеграл через і застосуємо формулу (5.1), обравши . Тоді . Далі: . Отримаємо: , тобто отримали рівняння відносно . Розв’язуючи його, маємо: .
|