Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Інтегрування елементарних дробів.
Елементарними дробами називаються вирази наступного вигляду: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) . Тут припускається, що – натуральне число, яке більше 1, а тричлен не має дійсних коренів, тобто його дискримінант . Розглянемо питання про обчислення інтегралів від цих виразів. Інтеграли від дробів 1), 2) обчислюються дуже просто:
Інтеграли від дробів 3), 4) були розглянуті у п.6. Зосередимось на інтегруванні дробів 5), 6). У п.6 ми бачили, що відповідною заміною змінної інтеграл від дроба 5) можна звести до інтеграла:
. Тому розглянемо інтеграл . Застосуємо формулу інтегрування частинами (5.1).
. Звідси: . (7.1) Тобто отримали рекурентну формулу, яка дозволяє зводити інтеграл до інтеграла . Зокрема, якщо , то отримуємо: .
Враховуючи, що
,
маємо:
. (7.2)
Тепер розглянемо інтегрування дробу 6):
, тобто звели інтеграл до вивченого.
Приклад. Обчислити інтеграл
. Маємо:
, де .
Обчислимо останній інтеграл окремо.
. За формулою (7.1) (при ) маємо: . Отже, повертаючись до змінної , отримуємо: . З урахуванням цього: .
|