![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Інтегрування раціональних функцій.
Нагадаємо, що раціональною функцією називається функція вигляду:
Інтеграли від раціональних функцій завжди виражаються через елементарні функції. У деяких випадках до таких інтегралів можна звести інтеграли від інших класів функцій (ірраціональних, тригонометричних). Тому вміння інтегрувати раціональні функції вельми необхідно. Виконання цієї задачі ґрунтується на наступному: Розглянемо спочатку випадок 1. Знаменник ся до одного з наступних чотирьох типів:
I. II. III. IV. 2. Кожному множнику ставиться у відповідність елементарний дріб, або сума елементарних дробів. А саме: Множнику I типу ставиться у відповідність дріб Множнику II типу ставиться у відповідність сума дробів:
Множнику III типу ставиться у відповідність дріб Множнику IV типу ставиться у відповідність сума дробів:
Коефіцієнти в чисельниках цих дробів поки що невизначені числа. 3. Підінтегральний дріб тарних дробів. Потім ця сума приводиться до спільного знаменника, який очевидно співпадає з Нагадаємо, що тут ми припускали, що Перейдемо до розглядання прикладів. Приклади. 1. Степінь чисельника співпадає зі степінню знаменника. Виділимо в підінтегральному дробу цілу частину:
Тоді:
Розкладемо на множники знаменник підінтегрального дробу:
Звідси бачимо, що всі множники відносяться до I типу. Тому підінтегральний дріб запишеться так:
Зводячи тепер суму у правій частині до спільного знаменника, отримуємо:
Зрівняємо коефіцієнти при однакових степенях
Розв’язуючи цю систему, одержимо: Зауважимо, що ці значенні можна було отримати інакше. Оскільки отриманий чисельник співпадає з чисельником
Іноді є сенс комбінувати обидва методи знаходження коефіцієнтів. Таким чином маємо:
Отже
2. Степінь чисельника нижча за степінь знаменника, і у знаменнику два множники II типу. Тому:
Зрівнюючи коефіцієнти, отримуємо:
Покладаючи
Покладаючи
Звідси
Звідси
3.
Степінь чисельника вища за степінь знаменника. Виділимо в підінтегральному дробу цілу частину:
Тому
Один множник I типу і один множник III типу. Отже
Зрівнюючи коефіцієнти, маємо:
Звідси:
4.
Степінь чисельника нижча за степінь знаменника, у знаменнику множник
Чисельник, що отримується після приведення до спільного знаменника, має вигляд:
Покладаючи тут Розкриваючи дужки і зрівнюючи коефіцієнти при однакових степенях
Оскільки вже відомо, що З 1–го рівняння: З 2–го рівняння: З 3–го рівняння: З 4–го рівняння:
Тепер маємо:
Обчислимо окремо:
Підставляючи ці вирази до (8.1), остаточно отримуємо:
|